Ecuación física - no se puede resolver para $\theta$

Question

Estoy intentando resolver la primera parte de este problema y mis conocimientos de trigonometría no están tan afinados como antes, ¿alguien podría ayudarme?

Mientras está parado en el hielo sin fricción, usted( $m = 65.0 \textrm{ kg}$ ) lanza un $4.50 \textrm{ kg}$ roca con velocidad inicial $12 \textrm{ m/s}$ . La roca es $15.2 \textrm{ m}$ de usted cuando aterrice. Tome el $x$ -eje en la superficie del hielo en la dirección horizontal del movimiento de la roca. Ignora la altura inicial del lanzamiento. ¿EN QUÉ ÁNGULO LO ARROJASTE?

Puedes resolver esto usando tus datos dados y resolviendo para $\theta$ en la ecuación de la trayectoria angular:

$$x = \frac{v^2}{g}\sin(2\theta)$$

Por favor, no me den la respuesta, sólo quiero ver si alguien puede resolver esta ecuación para $\theta$ .

Gracias.

Answer 1

Se refiere a esta solución:

$$ x = \frac{v^2}{g} \sin ( 2 \theta) \rightarrow \sin(2 \theta) = \frac{x\,g}{v^2} \rightarrow 2 \theta = \sin^{-1} \left( \frac{x\,g}{v^2} \right) $$

$$\boxed{ \theta = \frac{1}{2} \sin^{-1} \left( \frac{x \,g}{v^2} \right)} $$

Answer 2

Para resolver esto hay que ver las funciones trigonométricas inversas:

Para resolver $\theta$ en general:

$ \sin(\theta) = y \hspace{5 mm} \Rightarrow \hspace{5 mm} \theta=\sin^{-1}(y) $

Para su ejemplo:

$ \frac{gx}{v^2} = \sin(2\theta) $

Así:

$2\theta = \sin^{-1}\left(\frac{gx}{v^2}\right)$

Así que:

$ \theta = \frac{1}{2} \sin^{-1}\left(\frac{gx}{v^2}\right) $

P.D. Puedes leer más sobre las funciones trigonométricas inversas aquí .

Answer 3

Debes utilizar la conservación del momento para determinar la distancia que realmente recorre la roca desde el punto en que fue lanzada (será diferente de 15,2 m). Una vez que tengas esto, puedes utilizar la función del seno inverso para determinar el ángulo.

Answer 4

En cuanto a tu comentario sobre la puesta en marcha, creo que esto debería ayudar a aclarar y motivar mejor la fórmula que te dan, en el $x$ -dirección, podemos utilizar la conservación del momento lineal. Antes del lanzamiento, ninguna de las dos masas se mueve, por lo que tenemos $p_{initial}=0$ . Dejemos que $M$ sea su masa y $m$ la masa de la pelota, después del lanzamiento, tenemos $p_{final} = Mv + mv_0 \cos(\theta)$ , donde $v$ es su velocidad en el $x$ dirección y $v_0 =12 \: m/s$ podemos entonces escribir: $$ p_{initial} = p_{final}$$ $$ 0 = Mv + mv_0 \cos(\theta) $$ $$\implies v = - \frac{m v_0 \cos(\theta)}{M}$$ Su desplazamiento está dado por: $$ d_M = vt$$ y el desplazamiento de la bola en el $x$ dirección está dada por: $$d_m = v_0 t$$ Se le da $\Delta d = |d_m - d_M| = d_m -d_M =15.2\: m$ Ahora, en el $y$ dirección, la bola se moverá en un arco parabólico con un desplazamiento final igual a $0$ Así que..: $$ 0 = v_0 \sin(\theta) t - \frac{1}{2} g t^2$$ Resolver para $t$ tenemos: $$ t = \frac{-v_0 \sin(\theta) \pm \sqrt{v_0^2 \sin^2(\theta)}}{-g}$$ Donde vemos que la única solución no nula es: $$ t = \frac{2v_0 \sin(\theta)}{g}$$ Si introduces esto en tu fórmula para $\Delta d$ lo has hecho: $$ \Delta d = v_0\cos(\theta) t - v t = v_0 \cos(\theta) \left(\frac{2v_0 \sin(\theta)}{g} \right) - v\left(\frac{2v_0 \sin(\theta)}{g} \right) $$ $$ = v_0 \cos(\theta) \left(\frac{2v_0 \sin(\theta)}{g} \right) + \frac{m v_0 \cos(\theta)}{M}\left(\frac{2v_0 \sin(\theta)}{g} \right) $$

$$ =2\cos(\theta) \sin(\theta) \left(\frac{v_0^2}{g} +\frac{m v_0^2 }{Mg} \right) $$ A continuación, puedes utilizar la identidad trigonométrica (que deberías intentar derivar, para reforzar tus conocimientos de trigonometría) $2\sin(\phi)\cos(\phi) = \sin(2\phi)$ Lo que da la fórmula: $$ \Delta d = \sin(2 \theta ) \left(-\frac{m v_0^2 }{Mg} + \frac{v_0^2}{g}\right)$$ Donde ahora puedes utilizar la función del seno inverso mencionada en otras respuestas para encontrar el ángulo de lanzamiento de la bola, $\theta$ . Ten en cuenta que hay un término de corrección en la fórmula que te han dado debido al movimiento de la persona que lanza la pelota. También podemos comprobar los casos límite, lo que siempre es una buena idea en física para confirmar que tu respuesta es razonable. Si tu masa $M \to \infty$ entonces el primer término: $$ \frac{m v_0^2 }{Mg} \to 0$$ Así que recupera la fórmula habitual: $$ \sin(2 \theta ) \left( \frac{v_0^2}{g}\right)$$ Si $M \to 0$ , se esperaría que por la conservación del momento, se deslizara muy lejos, lo cual vemos que es el caso en nuestra fórmula.