¿Existe un teorema de inclusión de Whitney para variedades no uniformes?

Question

Para las variedades$n$ - suaves, sabemos que siempre se pueden incrustar en$\mathbb R^{2n}$ a través de un mapa diferenciable. Sin embargo, ¿existe algún teorema correspondiente para la categoría topológica? (es decir, ¿puede cada variedad topológica incrustarse continuamente en algún$\mathbb R^N$, y obtenemos el mismo límite para$N$?)

Answer 1

No sé si puede obtener el mismo límite, pero tiene la incrustación en un gran$\mathbb{R}^N$. La prueba es la misma que en el caso suave, incluso más simple. Permítanme mostrar cómo funciona asumiendo que$M$ es compacto, digamos de dimensión$n$.

Cubra$M$ por un número finito de gráficos$U_1, \dots, U_k$ homeomorfo a$\mathbb{R}^n$. Por cada$i$ considere el mapa$f_i \colon M \to S^n$ que colapsa el complemento de$U_i$ a un punto. Por supuesto, puede ver$f_i$ como un mapa de$\mathbb{R}^{n+1}$. Entonces$f = (f_1, \dots, f_k)$ es la incrustación deseada.

Answer 2

En Topología de Munkres, segunda edición, el corolario 50.8 dice "Cada colector$m$ compacto se puede incrustar en$R^{2m+1}$". Luego, el ejercicio 6 en la página 315 muestra (con sugerencias) cómo extenderlo a colectores no compactos. Sin embargo, no sé si la dimensión se puede reducir a 2 m.

Answer 3

Si. Para colectores compactos, la prueba se puede encontrar en Munkres Topology, un primer curso . En la edición de 1975 que usé está en §4.5, pero no estoy seguro en las ediciones más recientes.

Según Munkres, el teorema también sigue sin el supuesto de compacidad, pero "la demostración es mucho más difícil". Otros seguramente pueden señalar la literatura original.