Agradecería ayuda (autoestudio) para demostrar que la serie de potencias relacionadas de $\frac{z}{exp(z) - 1}$ converge absolutamente para $|z| < 2\pi$ sin mirar los términos específicos de la serie.
(Sé que la serie, aparte de los dos primeros términos, consiste en una serie con coeficientes que incluyen números de Bernoulli y que se puede demostrar que la serie converge absolutamente comparando $\zeta$ -funciones y aplicando los resultados a la serie. Stopple's "Primer of Analytic Number Theory" - Soluciones página 358.)
Pero me preguntaba si se puede hacer esa determinación utilizando teoremas del análisis complejo.
Puedo demostrar que la función satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann y, por tanto, es analítica con una serie de potencias convergentes.
Lo que he pensado es aplicar un lema de "Flanigan" página 203:
Si la serie $\sum {a_k(z - z_0)^k}$ converge en el punto $z_1$ , entonces converge absolutamente para todos los puntos tales que $|z - z_0| < |z_1 - z_0|$ .
Utilizando $z_0 = 0$ . Me doy cuenta de que habrá un poste en $2\pi i$ . Pero si sustituyo $z = 2\pi$ en la función, no debería haber ningún problema?
Pero no me siento cómodo con mi línea de pensamiento porque si sustituyo $z = 3\pi$ y si no hay "ningún problema" entonces, en que el teorema dice todos los puntos, la serie debería converger para $z = 2\pi i$ .
Agradecería que me ayudaran con la primera pregunta y me corrigieran lo que parece un malentendido del lema.
Muchas gracias.
