Evaluar el límite de $(f(2+h)-f(2))/h$ como $h$ se acerca a $0$ para $f(x) = \sin(x)$ .

Question

Si $f(x)=\sin x$ , evalúe $\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f(2+h) - f(2)}{h}$ con dos decimales.

He intentado responder de muchas maneras diferentes, pero siempre termino confundiéndome en el camino, y soy incapaz de cancelar los términos.

Cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

Su problema quiere que evalúe

$$\lim_{h \to 0} \frac{f(2+h) - f(2)}{h}$$

donde $f(x) = \sin(x)$ y $x=2$ .

En primer lugar, hay que tener en cuenta que $f(2+h) = \sin(2+h) = \sin(2)\cos(h) + \sin(h)\cos(2)$ que es una identidad trigonométrica.

Entonces, la expresión, $f(2+h) - f(2)$ simplemente se convierte en $\sin(2)\cos(h) + \sin(h)\cos(2) - \sin(2)$ .

Por lo tanto, tenemos que evaluar el siguiente límite

$$\lim_{h \to 0} \frac{\sin(2)\cos(h) + \sin(h)\cos(2) - \sin(2)}{h} \tag{1}$$

Queremos ser capaces de utilizar las siguientes identidades trigonométricas límite en nuestro problema

$$\lim_{h \to 0} \frac{1-\cos(h)}{h} = \frac{\cos(h)-1}{h} = 0$$ $$\lim_{h \to 0} \frac{\sin(h)}{h} = 1$$

Así, reescribiremos $(1)$ en la siguiente forma

$$\frac{\sin(2)\cos(h) + \sin(h)\cos(2) - \sin(2)}{h} = \sin(2)\cdot\frac{(\cos(h)-1)}{h} + \cos(2) \cdot \frac{\sin(h)}{h} $$

Así, evaluando el límite, deducimos

$$\lim_{h \to 0} \frac{\sin(2)\cos(h) + \sin(h)\cos(2) - \sin(2)}{h} = \lim_{h \to 0} \bigg( \sin(2)\cdot\frac{(\cos(h)-1)}{h} \bigg) + \lim_{h \to 0} \bigg( \cos(2) \cdot \frac{\sin(h)}{h} \bigg)$$

que se convierte en

$$\sin(2) \cdot 0 + \cos(2) \cdot 1 = \cos(2)$$

como se desee.

Utilizando una calculadora, vemos que $\cos(2) \approx -0.42$ radianes.

Cuando aprendas los derivados, descubrirás que $\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(\sin(x)) = \cos(x)$ y cuando $x = 2$ entonces $\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(\sin(2)) = \cos(2)$ que hemos demostrado formalmente más arriba utilizando la definición de la derivada.

Answer 2

Recuerda que $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$ Aquí vemos que $f(x) = \sin x$ y $x = 2$ . Por lo tanto, todo lo que tenemos que hacer es encontrar $f'(2)$ . Si sabes que la derivada de la función seno es $\cos x$ entonces usted tiene inmediatamente la respuesta como $\cos (2)$ (Recuerda que esto es en radianes... todo el Cálculo debe hacerse en radianes)

Answer 3

"[Yo] no puedo cancelar los términos".

Esto sugiere que estás tratando de hacer algo de álgebra. Pero la frase "con dos decimales" sugiere que lo que se pretende es hacer aritmética. Los medios que usted debe encontrar de alguna manera $\sin 2$ y $\sin2.01$ o algún otro valor del seno para un número cercano a $2$ . Si asumimos que las calculadoras son infalibles, obtenemos $$ \frac{\sin(2+0.01) - \sin 2}{0.01} \approx \frac{0.9050906 - 0.9092974}{0.01} \approx -0.4206864. $$ Desde $\cos2\approx-0.4161468$ Esto está dentro de $0.01$ del valor correcto.

Recuerda: Esto es en radianes, no en grados.

Este límite se suele encontrar no haciendo cancelaciones, sino apretando.

Answer 4

Utilice Fórmulas de prostaféresis ,

$$\sin(a+h)-\sin a=2\sin\dfrac h2\cos\dfrac{2a+h}2$$

$$\lim_{h\to0}\dfrac{\sin(a+h)-\sin a}h=\lim_{h\to0}\dfrac{\sin\dfrac h2}{\dfrac h2}\cdot\lim_{h\to0}\cos\dfrac{2a+h}2=?$$