Resolvente $R(\lambda,A)x \to 0$ como $|\lambda| \to \infty$

Question

Si tengo un operador cerrado $A:D(A) \to X$ , no necesariamente acotado en un espacio de Banach $X$ y el resolvente es ilimitado, ¿puedo demostrar para un $x \in X$ que

$$R(\lambda,A)x \to 0$$ como $|\lambda|\to\infty$ ?

Tenga en cuenta que no estoy pidiendo $||R(\lambda,A)||\to 0$ lo que sería cierto si $A$ estaban acotados.

Parece obvio porque $\lambda - A$ aplicada a un vector concreto sería enorme como $\lambda$ va enorme y $||(\lambda - A)R(\lambda,A)|| = 1$ pero no puedo sacarlo.

Answer 1

Cuando se trata de conjeturas sobre operadores no limitados, siempre es bueno probar las conjeturas con un operador diferencial. John von Neumann definió operadores cerrados no limitados para estudiar los operadores diferenciales. Los operadores diferenciales siguen siendo los mejores ejemplos.

Por ejemplo, dejemos que $X=C[0,1]$ y que $A=\frac{d}{dx}$ en el dominio $\mathcal{D}(A)$ de funciones continuamente diferenciables $f$ en $[0,1]$ con $f(0)=0$ . La ecuación de resolución $(A-\lambda I)f=g$ es $$ f'-\lambda f = g,\;\;\; f(0)=0. $$ La solución $f$ se obtiene con un factor integrador $$ \frac{d}{dx}\left(e^{-\lambda x}f(x)\right)=e^{-\lambda x}g(x) \\ e^{-\lambda x}f(x) = \int_{0}^{x}e^{-\lambda t}g(t)dt \\ f(x)=\int_{0}^{x}e^{\lambda(x-t)}g(t)dt. $$ El resolvente está definido en cualquier lugar del plano complejo y es holomorfo. Esto significa que $R(\lambda)$ va a tener que portarse bastante mal en $\infty$ . Supongamos que $R(\lambda)g\rightarrow 0$ en $X$ como $\lambda\rightarrow\infty$ . Entonces lo mismo ocurre con la función escalar $\Phi(R(\lambda)g)$ por cada $\Phi\in X^*$ . Eso haría que $\Phi(R(\lambda)g)$ una función entera acotada que desaparece en $\infty$ Por lo tanto $\Phi(R(\lambda)g)=0$ se mantendría para todos los $\lambda$ , lo que daría $R(\lambda)g=0$ , obligando así a $g=0$ . Así que este resolvente se comporta mal en $\infty$ para todo lo que no sea cero $g\in C[0,1]$ .