No sé qué hacer con esta ecuación. He intentado hacer ambos lados en forma trigonométrica, pero después no sé cómo avanzar para resolverla: $$8z=i|z|^3\bar{z}$$ En forma trigonométrica $$8\varphi\left[\cos(\theta) + i \sin(\theta)\right] =\varphi^4\left[\cos\big(\tfrac{\pi}{2}-\theta\big) + i \sin\big(\tfrac{\pi}{2}-\theta\big)\right]$$ Ahora no sé cómo continuar.
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Dejemos que $r=|z|$ y $\theta=\arg(z)$ para que $z=re^{i\theta}$ . Entonces $\overline{z}=re^{-i\theta}$ y así la ecuación se convierte en $$8re^{i\theta}=ir^4e^{-i\theta}.$$ Tenga en cuenta que $i=e^{i\tfrac{\pi}{2}}$ por lo que el lado derecho es igual a $r^4e^{i(\tfrac{\pi}{2}-\theta)}$ . Reordenando los términos lo anterior se convierte en $$re^{i\theta}\cdot\left(8-r^3e^{i(\tfrac{\pi}{2}-2\theta)}\right)=0,$$ lo que demuestra que $r=0$ o $$8-r^3e^{i(\tfrac{\pi}{2}-2\theta)}=0,$$ en cuyo caso $r=2$ y $\tfrac{\pi}{2}-2\theta=2k\pi$ para algunos $k\in\Bbb{Z}$ . Entonces $\theta=(\tfrac14-k)\pi$ Así que $\theta=\tfrac14\pi$ o $\theta=\tfrac54\pi$ como $\theta\in[0,2\pi)$ . Esto demuestra que existen precisamente tres soluciones, que son $$z=\pm\sqrt{2}(1+i)\qquad\text{ or }\qquad z=0.$$
Karthikeyan KC
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Vemos que $z=0$ es una solución trivial. Sea $z=re^{i\theta+i2\pi k }$ . Entonces $$8re^{i\theta+i2\pi k}=ir^4e^{-i\theta-i2\pi k},$$
dando $$8e^{i2\theta+i4\pi k}=r^3e^{i\pi/2+i2\pi\ell}.$$ Por lo tanto, $r=2$ y $2\theta+4\pi k=\pi/2+2\pi\ell\implies\theta=\pi/4+\pi\ell-2\pi k\equiv \pi/4+\pi\ell$ .
Así que tenemos $z=2e^{i(\pi/4+\pi\ell)}$ , donde $\ell\in\mathbb{Z}$ . Esto da las soluciones $$\left\{0,2 e^{\frac{i \pi }{4}},2 e^{-\frac{i3}{4}\pi}\right\}.$$
