$\mathbb C[x_1,\ldots,x_n]/I=\mathbb C\times\cdots\times\mathbb C$ .

Question

Dejemos que $A=\mathbb C[x_1,\ldots,x_n]/I$ y para cada $y\neq 0$ tenemos $y^2\neq 0$ y $\dim A=0$ . Me gustaría demostrar que $A=\mathbb C\times\cdots\times\mathbb C$ .

Intento de solución

$\dim A=0$ y $A$ Noetheriano $\implies$ $A$ Artiniano $\implies$ hay ideales máximos $\mathfrak m_1\ldots \mathfrak m_n$ . Entonces

$$A=A/(0)=A/Nil(A)=A/\cap\mathfrak m_i=A/\Pi\mathfrak m_i=(A/\mathfrak m_1)\times\ldots\times(A/\mathfrak m_n)$$

el último isomorfismo se debe por el teorema del resto chino.

Necesito ayuda para terminar esta prueba, he encontrado extraña esta solución porque no he utilizado el hecho $y\neq 0\implies y^2\neq 0$ .

¿Hay una solución más sencilla?

Realmente necesito ayuda

Gracias de antemano

Answer 1

El $y\neq 0 \implies y^2\neq 0$ dice $A$ no tiene nilpotentes no nulos, lo que es cierto si y sólo si $I$ es un ideal radical. De ahí que $A$ es el anillo de coordenadas del conjunto algebraico $V(I),$ que es un conjunto finito de puntos ya que la dimensión de $A$ es $0.$ Por lo tanto, $A \cong \mathbb{C}\times \mathbb{C} \times \ldots \times \mathbb{C}$ donde el número de copias es el número de puntos en $V(I).$

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Añadido: Algunas palabras sobre el porqué $A \cong \mathbb{C}\times \mathbb{C} \times \ldots \times \mathbb{C}$ . Intuitivamente, deberíamos esperar esto: $A$ es el anillo de funciones polinómicas restringido a $V(I),$ y dicha función está determinada básicamente por sus valores en esos puntos.

Supongamos que $V(I) = \{ x_1, \ldots, x_n\}.$ Definir $\phi: A \to \mathbb{C}^n$ por $p + I \mapsto (p(x_1) \ , \ p(x_2)\ , \ \ldots \ , \ p(x_n) ).$

Comprueba que este mapa está bien definido (no depende del representante del coset $p$ de $p+I$ ), y un homomorfismo de anillo.

No es difícil comprobar que es inyectable: Si un polinomio $p$ es tal que $(p(x_1) \ , \ p(x_2)\ , \ \ldots \ , \ p(x_n) ) = (0,0, \ldots, 0)$ entonces $p\in I(V(I)) = I$ así que $p+I=0+I.$

Lo único que queda es demostrar que es surjetivo: Debemos demostrar que para cualquier $n$ -pareja de números complejos $(a_1,\ldots, a_n),$ podemos encontrar una función polinómica tal que $p(x_i)=a_i.$

Lema: Si $W_1,W_2$ son conjuntos algebraicos, entonces $W_1=W_2$ si y sólo si $I(W_1)=I(W_2).$ Prueba: Una dirección es obvia, la otra se deduce del hecho $V(I(V(J))) = V(J).$

Dejemos que $W_i = V(I)\setminus \{ x_i \}.$ A partir del lema, vemos que existe un polinomio $f_i$ que se desvanece en $W_i$ y es distinto de cero en $x_i.$ Multiplicando por un escalar, podemos suponer $f_i(x_i)=1.$ Entonces el polinomio $p(x)=\sum_{i=1}^n a_i f_i(x)$ es tal que $p(x_i)=a_i,$ según sea necesario.