La teoría de conjuntos es mucho más complicado que el "común" de las matemáticas en este aspecto, se ocupa de las cosas que usted a menudo puede demostrar que no demostrable.
Es decir, cuando empezamos con las matemáticas (y a veces por el resto de nuestras vidas) vemos teoremas, y hemos de probar cosas acerca de las funciones continuas o transformaciones lineales, etc.
Estas cosas a menudo son simples y tienen una naturaleza finita (en algún sentido), así que podemos probar y refutar casi todas las declaraciones que nos encontramos. Además es una buena idea, a menudo, para iniciar con las declaraciones que los estudiantes puedan manejar. No demostrable declaraciones son filosóficamente duro de tragar, y como tal, que por lo general deben ser presentados (en su totalidad) sólo después de un buen fondo, ha sido dado.
Ahora a la hipótesis continua. Los axiomas de la teoría de conjuntos simplemente nos dicen establece cómo debe comportarse. Deben tener ciertas propiedades, y seguir las reglas básicas que se espera para los conjuntos. E. g., dos conjuntos que tienen los mismos elementos son iguales.
Usando el lenguaje de la teoría de conjuntos podemos frase de la siguiente afirmación:
Si $a$ es un incontable subconjunto de los números reales, entonces $A$ es equipotente con $\mathbb R$.
El problema comienza con el hecho de que hay muchos subconjuntos de los números reales. De hecho, salimos de la denominada "muy finito" la naturaleza de las matemáticas básicas y entramos en un reino de los infinitos, la extrañeza y muchas otras cosas raras.
La intuición es en parte cierto. Para los conjuntos de los números reales que podemos definir por un razonablemente de manera sencilla podemos también probar que la hipótesis continua es cierto: cada "simplemente" se puede describir la multitud innumerable es de el tamaño de la continuidad.
Sin embargo la mayoría de los subconjuntos de los números reales son tan complejos que no podemos describir en una forma sencilla. No, incluso si ampliamos el significado de simple por un poco, y si ampliamos aún más, no sólo vamos a perder el resultado anterior acerca de la hipótesis continua siendo cierto para los juegos sencillos; nosotros todavía no será capaz de cubrir ni siquiera nada parecido a un "gran parte" de los subconjuntos.
Por último, no es que mucha gente "cree que no es una simple deducción". Fue demostrado matemáticamente - que no podemos probar la hipótesis continua a menos que ZFC es contradictorio, en cuyo caso será más bien dejar de trabajar con él.
No deje que esto le impida el uso de ZFC, aunque. No demostrable preguntas son sobre todo las matemáticas, incluso si usted no los ve como tales de una manera directa:
No es exactamente una cantidad de $x$ tales que $x^3=1$.
Esta es una reivindicación independiente. En los números reales, o los racionales, incluso, es cierto. Sin embargo, en los números complejos, esto no es cierto ya. Es este desconcertante? En realidad no, porque los reales y los números complejos tienen muy modelos canónicos. Sabemos casi todo lo que hay saber acerca de estos modelos (como los campos, de todos modos), y no nos sorprende que la afirmación es verdadera en un solo lugar, pero falso en otro.
La teoría de conjuntos (leído: ZFC), sin embargo, no tiene ningún tipo de propiedad. Es una gran teoría que nos permite crear una gran parte de las matemáticas dentro de la misma, y como tal, está obligado a dejar muchas preguntas abiertas que pueden tener respuestas de verdadero o falso en los diferentes modelos de la teoría de conjuntos. Algunas de estas preguntas afectan directamente el "no establece la teoría de la matemática", mientras que otros no.
Algún material de lectura:
- Una pregunta con respecto a la Hipótesis continua (Revisado)
- Ni demostrable ni disprovable teorema de
- Imposible probar vs ni verdadera ni falsa
