Encontrar los números complejos $z$ tal que $\left(\frac{\overline{z} +1}{z}\right )^6 = 1 $ .

Question

Resolver $$\left(\frac{\overline{z} +1}{z}\right )^6 = 1.$$

Intenté escribir esto en forma $z= a+i b$ o $z=e^{i\varphi} $ pero eso no parece ir a ninguna parte.

Answer 1

Pista. Tomando el valor absoluto de ambas partes se deduce que si $z=a+ib$ es una solución, entonces $$|\overline{z}+1|=|z|\Leftrightarrow (a+1)^2+(-b)^2=a^2+b^2\Leftrightarrow 2a+1=0\Leftrightarrow a=-\frac{1}{2}.$$ Ahora enchufe $z=-\frac{1}{2}+ib$ en la ecuación original y encontrar $b$ .

Answer 2

Tenemos que $\frac{\bar z + 1}{z} = \omega^k$ donde $\omega = e^{i\pi/3}$ . De ello se desprende que $\bar z + 1=\omega^kz$ y $z+1=\omega^{-k}\bar z$ que combinados nos dan $\omega^k = -1$ (sólo hay que conectarlo: $z+1=\omega^{-k}(\omega^kz-1)$ ). La ecuación se convierte en $\bar z + 1 = -z$ , lo que nos da $\operatorname{Re}z = -\frac 12$ . Enchufando $z = -\frac 12 + bi$ en la ecuación original nos da que $b$ puede ser cualquier real.