Demuestra la convergencia de la siguiente secuencia y encuentra el límite

Question

Me pregunto si alguien puede resolverme el siguiente problema:

La secuencia de números reales $x_n$ se define inductivamente por $$ x_1=4 \quad\text{and}\quad x_{n+1}=\frac4{x_n}+\frac{x_n}2. $$ Demostrar que $x_n$ converge y encuentra su límite

Gracias a todos los que han contribuido a la solución.

Answer 1

Mira la diferencia $x_{n+1}-x_n$ : $$x_{n+1}-x_n=\frac{8-x_n^2}{2x_n}$$ Si puede demostrar que $$x_{n+1}-x_n\le 0$$ para todos $n$ entonces sabes que $x_n$ es monótona. Si se puede demostrar además que $x_n$ está acotado (es decir, tiene un límite inferior), entonces has demostrado la convergencia. Como $x_n$ es siempre positivo, basta con considerar la diferencia $x_n^2-8$ : $$x_n^2-8 = \left( \frac{4}{x_{n-1}} + \frac{x_{n-1}}{2} \right)^2 - 8 = \left( \frac{4}{x_{n-1}} - \frac{x_{n-1}}{2} \right)^2 \ge 0$$ Esto demuestra dos cosas a la vez:

1. $x_{n+1}-x_n \le 0,\quad$ es decir $x_n$ es monótonamente decreciente

2. $x_n \ge \sqrt{8}=2\sqrt{2},\quad$ es decir $x_n$ tiene un límite inferior

Ahora puedes encontrar simplemente el límite $c=\lim\limits_{n\to\infty}x_n$ resolviendo

$$c = \frac{4}{c} + \frac{c}{2}$$ que da $c=2\sqrt{2}$ .