¿Existe una fórmula de forma cerrada para la serie $\sum\limits_{n = 1}^N {\frac{{1 + {x^{2n - 1}}}}{{1 + {x^{2n + 1}}}}}$ ¿Existe?

Question

¿Existe una fórmula de forma cerrada para la siguiente serie?

$\sum\limits_{n = 1}^N {\frac{{1 + {x^{2n - 1}}}}{{1 + {x^{2n + 1}}}}}$

Answer 1

Hay una expresión de forma "cerrada" $$\sum\limits_{n = 1}^p {\frac{{1 + {x^{2n - 1}}}}{{1 + {x^{2n + 1}}}}}=p+\frac{\left(1-x^2\right) }{x^2 \log \left(x^2\right)}\left(\psi _{x^2}^{(0)}\left(p+1-\frac{\log \left(-\frac{1}{x}\right)}{\log \left(x^2\right)}\right)-\psi _{x^2}^{(0)}\left(1-\frac{\log \left(-\frac{1}{x}\right)}{\log \left(x^2\right)}\right)\right)$$ donde aparece el $q$ función digamma (echa un vistazo aquí ).