¿Alguien tiene alguna información o idea sobre una forma cerrada para $$\sum_{n=2}^\infty \frac{\ln{n}}{n^{2k} -1}$$ O intentar comprender mejor esto en función de $k$ ? Parece que no puedo hacer mucho con esto. Intenté expandir el término logarítmico como una serie de Taylor, y luego cambiar el orden de la suma, pero no pude ver nada que hacer a partir de ahí.
Respuesta
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En el $k=1$ caso tenemos $$ -\sum_{n\geq 2}\frac{\log n}{n^2-1} = -\sum_{n\geq 2}\left(\frac{\log n}{n^2}+\frac{\log n}{n^4}+\frac{\log n}{n^6}+\ldots\right)=\zeta'(2)+\zeta'(4)+\zeta'(6)+\ldots $$ que puede escribirse como
$$ \sum_{m\geq 1}\frac{1}{\Gamma(2m)}\int_{0}^{+\infty}\frac{x^{2m-1}\left(\log x-\psi(2m)\right)}{e^x-1}\,dx=\int_{0}^{+\infty}\frac{\text{Chi}(x)\sinh(x)-\text{Shi}(x)\cosh(x)}{e^x-1}\,dx $$ por la representación integral para el $\zeta$ función. $\text{Chi}$ y $\text{Shi}$ son los integral del coseno hiperbólico y el integral de seno hiperbólico . Como alternativa, el teorema de Frullani da $$ \log n = \int_{0}^{+\infty}\frac{e^{-x}-e^{-nx}}{x}\,dx $$ por lo tanto: $$ \sum_{n\geq 2}\frac{\log n}{n^2-1} = \int_{0}^{1}\frac{(1-u)\left[u+(1+u)\log(1-u)\right]}{2u^2\log u}\,du\approx 1.023 $$ y el enfoque puede extenderse fácilmente a la $k>1$ caso.
