Tangencia de las variedades - ejemplo de Gathman

Question

En general $\mathbf I(Y_1 \cap Y_2)=\sqrt{\mathbf I(Y_1)+\mathbf I(Y_2)}$ . En la observación 1.27 de estas notas de Gathman se da un ejemplo para ilustrar que la RHS no es radical si las variedades $Y_1,Y_2$ son en cierto modo tangentes. Estoy confundido con el ejemplo que da. En primer lugar, trabaja en $\mathbb A^1_\mathbb C$ pero utiliza ideales como $ \left\langle x_2 -x_1^2\right\rangle $ . ¿No estamos trabajando realmente en $\mathbb A^2_{\mathbb R^2}$ ?

Si es así, tengo problemas para formalizar esta intuición de "tangencia". Si nos quedamos con $\mathbb C[x]$ que es un PID entonces el generador de $\mathbf I(Y_1)+\mathbf I(Y_2)$ debe tener al menos una raíz doble (ya que es un UFD y un ideal principal en un UFD es radical si la descomposición primaria de su generador no tiene elementos repetidos), por lo que cada elemento de este ideal también tendrá al menos una raíz doble en el mismo punto, lo que suena bien. Pero $\mathbb R[x,y]$ no es un PID así que no estoy seguro de qué hacer.

¿Cuál es la imagen geométrica aquí y es realmente $\mathbb A^1_\mathbb C$ en la que estamos trabajando?

Answer 1

Parece que quiso decir $\mathbb A^2_\mathbb C$ . La imagen geométrica es la que da en el ejemplo. (Probablemente no sea un comentario útil, pero no conozco una imagen mejor).

La forma adecuada de formalizar la noción que quieres es a través de la teoría de esquemas. (Y esto es exactamente por lo que la teoría de esquemas es una herramienta tan útil: el lenguaje de las variedades simplemente no es lo suficientemente rico como para hacer la teoría de intersecciones correctamente, entre otras cosas). He aquí una forma breve y algo ad-hoc de pensar en ello.

El ideal habitual del punto $(0,0)$ es $I=(x,y)$ . El ideal que da Gathmann es $J=(x^2,y)$ . Como espacios vectoriales, $k[x]/I$ es unidimensional, mientras que $k[x]/J$ es bidimensional. Esto explica el hecho de que la intersección se produce "con multiplicidad dos". (Si se menea un poco la línea, se obtienen dos puntos de intersección).

Es decir, tenemos dos subesquemas cerrados apoyados en el mismo punto de $\mathbb A^2$ y podemos separarlas mirando sus estructuras.