¿Es cierto que el teorema de la diferenciación de Lebesgue se deduce del teorema de la densidad de Lebesgue?

Question

Dejemos que $(X,d)$ sea un espacio métrico completo separable y $\mu$ una medida de probabilidad sobre los subconjuntos de Borel de $(X,d)$ . Supongamos que se cumple el teorema de la densidad de Lebesgue, es decir, que para cada conjunto de Borel $A$ de $(X,d)$ sostiene que $$\lim_{r\to0^+}\frac{\mu(A\cap\bar{B}_r(x))}{\mu(\bar{B}_r(x))}=1$$ para $\mu$ -casi todos $x\in A\cap\operatorname{supp}(\mu)$ , donde $\operatorname{supp}(\mu)=\{x\in X : \forall r>0, \mu(\bar{B}_r(x))>0\}$ .

Pregunta: ¿es cierto que el teorema de diferenciación de Lebesgue se cumple en $(X,d,\mu)$ es decir, que para cada $f\in L^1(\mu)$ , $$\lim_{r\to0^+}\frac{1}{\mu(\bar{B}_r(x))}\int_{\bar{B}_r(x)}f\operatorname{d}\mu=f(x)$$ para $\mu$ -casi todos $x\in \operatorname{supp}(\mu)$ ?

Traté de aproximarme $f$ en $L^1(\mu)$ mediante una simple función $g$ ya que es fácil demostrar que para $g$ simple el teorema se mantiene, por lo que $$\left|\frac{1}{\mu(\bar{B}_r(x))}\int_{\bar{B}_r(x)}f\operatorname{d}\mu-f(x)\right|\\ \le \frac{1}{\mu(\bar{B}_r(x))}\int_{\bar{B}_r(x)}|f-g|\operatorname{d}\mu+\left|\frac{1}{\mu(\bar{B}_r(x))}\int_{\bar{B}_r(x)}g\operatorname{d}\mu-g(x)\right|+|g(x)-f(x)|,$$ y el término medio tiende a cero para $\mu$ -casi todos $x\in\operatorname{supp}(\mu)$ . También Tchebychev nos permite tratar el término $|f(x)-g(x)|$ . Pero al tratar de estimar el primer término parece que necesitamos una estimación de la función máxima en términos de $L^1(\mu)$ norma. Ahora, si trabajamos en $\mathbb{R}^d$ podemos apoyarnos en el teorema de cobertura de Besicovitch, pero en nuestro contexto este teorema no se cumple en general. Así que me pregunto si hay alguna otra forma de atacar este problema sin asumir ninguna hipótesis extra... ¿Alguna idea?

Answer 1

El teorema de la diferenciación de Lebesgue es equivalente a la propiedad fuerte de Vitali mientras que el teorema de la densidad de Lebesgue es equivalente a la propiedad débil de Vitali y existe un espacio métrico completo separable y una medida de probabilidad de Borel tal que la propiedad débil se mantiene mientras que la fuerte no.

Referencias:

• Edgar, Sucheston - Tiempos de parada y procesos dirigidos
• Das - Propiedades fuertes y débiles de Vitali