Una desigualdad en la teoría de la probabilidad

Question

Estoy tratando de entender un documento pero estoy atascado en algún punto. Sin embargo, podría entenderlo si probara el siguiente resultado, pero no estoy seguro de que sea realmente cierto.
$\mathbf{Conjecture:}$ dejar $Z_1.\, \dots, Z_n $ ser iid $\sim Z \in L^2$ con $\mathbb{E}Z=0$ . Entonces $$ \mathbb{E}[\sqrt{\sum_{i=1}^n Z_i^2}] \leq \sup_{\lambda\in \mathbb{R}^n : ||\lambda||_2 = 1} \mathbb{E}[|\sum_{i=1}^n \lambda_i Z_i|] $$

Creo que algo así se dice en el periódico, pero no puedo ver si es cierto. ¿Alguna ayuda?

Answer 1

Esto es falso. Toma $n=2$ y tomar $Z_1, Z_2$ i.i.d. Gaussiana con media 0 y varianza 1. Por simetría, la siguiente expresión es la misma para todos $(\lambda_1, \lambda_2) \in \mathbb{R}^2$ que satisfagan $\lambda_1^2 + \lambda_2^2=1$ : $$ E[|\lambda_1 Z_1 + \lambda_2Z_2|] $$ Por lo tanto, esto es lo mismo para $(\lambda_1, \lambda_2) = (1,0)$ y $$ E[|\lambda_1 Z_1 + \lambda_2Z_2|] = E[|Z_1|] = \sqrt{\frac{2}{\pi}}\approx 0.79788456 \quad \mbox{(whenever $ \lambda_1^2+\lambda_2^2=1 $)}$$ Por otro lado $$ E\left[\sqrt{Z_1^2 + Z_2^2} \: \right] = \sqrt{\frac{\pi}{2}} \approx 1.2533141$$

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Editar: Para dar una prueba de la observación de la simetría: Considere la matriz de rotación $$ A = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix}$$ Definir $$ \begin{bmatrix}X_1\\ X_2\end{bmatrix} = A\begin{bmatrix}Z_1\\Z_2\end{bmatrix}$$ Entonces $X_1, X_2$ son de nuevo i.i.d. media guasiana 0, varianza 1. Así que para cualquier función medible $f(x)$ (incluyendo $f(x)=|x|$ ) y cualquier constante $\theta \in \mathbb{R}$ : \begin{align} E\left[f\left([\cos(\theta) \: \sin(\theta)] \cdot \begin{bmatrix}Z_1\\Z_2\end{bmatrix} \right)\right] &= E\left[f\left([\cos(\theta) \: \sin(\theta)] \cdot A \begin{bmatrix}Z_1\\Z_2\end{bmatrix}\right)\right]\\ &=E\left[f\left([1 \: \: 0] \begin{bmatrix}Z_1\\Z_2\end{bmatrix} \right)\right]\N- &=E[f(Z_1)] |end{align} donde la primera igualdad utiliza el hecho de que el vector aleatorio $[Z_1;Z_2]$ tiene la misma distribución que el vector aleatorio $A[Z_1;Z_2]$ la segunda igualdad utiliza el hecho de que $$ [\cos(\theta) \: \sin(\theta)] \cdot A = [1 \: \: 0]$$