$(0,1)$ sin unión de intervalos centrados en números racionales

Question

Dejemos que $(a_n)$ sea una secuencia de todos los números racionales en $(0,1)$ y que $$\mathscr{I}_t:=\bigcup_i\left(a_i-\frac{t}{2^{i+1}},a_i+\frac{t}{2^{i+1}}\right)\bigcap\,(0,1)\text{.}$$ Entonces $\lambda(\mathscr{I}_t)\leq t$ porque $\displaystyle\sum_n\frac{t}{2^n}=t$ donde $\lambda$ es la medida de Lebesgue. Esto significa que $\mathscr{I}_t\subsetneq(0,1)$ para $t<1$ .

Estoy tratando de entender lo que $(0,1)\setminus\mathscr{I}_t$ y de qué manera depende de la enumeración de los racionales.

Mis pensamientos: Obviamente sólo contendría números irracionales. Cualquier $x\in(0,1)\setminus\mathscr{I}_t$ tiene que satisfacer $\mid x-a_i\mid\geq\frac{t}{2^{i+1}}\forall i$ . Pero estoy tratando de construir una comprensión intuitiva y no sé cómo tal $x$ se vería así.

Answer 1

¿Cuál es su pregunta exacta? Supongo que ya conoces el conjunto de Cantor, pero si no es así, quizá sea un punto de partida. No es lo mismo, ya que el conjunto de Cantor sigue conteniendo números racionales.

También podría ayudar empezar con la enumeración "simple" 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/5...

Una cosa que es interesante notar es que su conjunto puede tener una medida arbitrariamente cercana a uno pero nunca exactamente uno. Se puede ir más allá y demostrar que cualquier subconjunto cerrado de los números irracionales en el intervalo unitario no puede tener medida 1 (cuando se utiliza la medida de Lebesque), debido al hecho de que los conjuntos abiertos que no son el conjunto vacío tienen medida mayor que 0.