Número de piezas cuadradas

Question

Sal corta un cuadrado de longitud de lado entero en cuadrados más pequeños de longitud de lado entero. Por ejemplo, ella podría cortar un cuadrado de $4*4$ en cuatro cuadrados de $1*1$ y tres cuadrados de $2*2$, haciendo 7 piezas.

A. Dibuja un diagrama para mostrar cómo Sal puede cortar un cuadrado de $5*5$ en 11 piezas cuadradas.

Ya completé esto. Solo me preguntaba si hay alguna fórmula o prueba para mostrar la relación.

B. Muestra que Sal no puede cortar un cuadrado de $4*4$ en 11 piezas

Ya hice esto mostrando todos los cortes posibles para un cuadrado de $4*4$, sin embargo, no es muy conveniente. ¿Existe alguna fórmula/atalajo/prueba para ello?

C. Sal tiene 2 cuadrados de $4*4$, 3 cuadrados de $3*3$, 4 cuadrados de $2*2 y 4 cuadrados de $1*1$. Dibuja un diagrama que muestre cómo puede colocar todos o algunos de estos cuadrados juntos sin espacios vacíos ni superposiciones para hacer el cuadrado más grande posible. Explica por qué no puede construir un cuadrado más grande.

Aquí es donde tengo problemas. Esta pregunta casi seguramente requiere el uso de pruebas, y no soy muy bueno en eso. Entonces, ¿hay alguna prueba que pueda usar para hacer el cuadrado más grande posible y por qué no hay un cuadrado más grande?
Gracias.

Answer 1

En relación con tu Pregunta B, se puede demostrar que una configuración de $11$ cuadrados a partir de un cuadrado de $4\times 4$ no es posible.

De nuestro cuadrado de $4\times 4$, solo podemos recortar cuadrados de $1\times 1$, $2\times 2$, $3\times 3$ y un cuadrado de $4\times 4$. Llamemos al número de cuadrados de cada uno de estos tamaños $a$, $b$, $c$ y $d$ respectivamente.

Necesitamos tener $a+b+c+d=11\qquad (*)$

Sin embargo, está claro que necesitaríamos tener $c=d=0$ ya que si alguno de estos fuera $1$, entonces no podríamos satisfacer $(*)$ ya que tendríamos o ninguno o no suficientes otros cuadrados para completar $11$ en total. Además, obviamente no podríamos tener $c,d\geq 1$ ya que solo estamos trabajando con un cuadrado de $4\times 4$.

Entonces $(*)$ se reduce a $a+b=11$.

Observando la imagen del cuadrado de $4\times 4$ que has publicado, notamos que tenemos $b\in \{1,2,3,4\}$ y además observamos que no importa qué número de $b$ elijamos, siempre habrá un número par de cuadrados de $1\times 1$ restantes.

Además, observa que $11$ es un número impar.

Dado que la suma de un número impar y un número par siempre es impar. Estamos obligados a elegir un número impar de cuadrados de $2\times 2$ para asegurar que nuestra respuesta para $(*)$ también sea impar. Es decir, debemos tener $b\in \{1,3\}$. Es fácil verificar que, según la imagen, la suma de los cuadrados de $1\times 1$ sumados a los $1$ o $3$ cuadrados de $2\times 2$ nunca puede sumar $11$.

En cuanto a la Pregunta C, si sumamos el número de cuadrados de $1\times 1$ que tenemos disponibles, es $2\times 4^2+ 3\times 3^2+ 4\times 2^2+ 4\times 1^2=79$ el siguiente número cuadrado más pequeño desde $79$ es $8^2=64$ y el siguiente más grande es $9^2=81$.

Entonces el cuadrado más grande que podemos esperar construir es un cuadrado de $8\times 8$.