Este es un tema bastante complicado, así que permítanme dar ideas vagas y luego darles referencias.
1) Como Max señalada en los comentarios anteriores, si $H_1,H_2$ son subgrupos algebraicos cerrados de $G$ entonces $H_1\cap H_2$ tiene el functor que toma cualquier $k$ -Álgebra $R$ y asociados a ella $(H_1\cap H_2)(R)=H_1(R)\cap H_2(R)$ . La razón por la que esto es representable es que concuerda con el functor de puntos de $H_1\times_G H_2$ . De hecho, hay que tener en cuenta que desde $H_2\hookrightarrow G$ es una incrustación cerrada sabemos que la proyección $H_1\times_G H_2\hookrightarrow H_1$ es una incrustación cerrada. Pero, ¿cuáles son los puntos de $(H_1\times_G H_2)(R)$ ? Es el conjunto $\{(a,b)\in H_1(R)\times H_2(R):a=b\in G(R)\}$ por lo que la inclusión $H_1\times_G H_2(R)\to H_1(R)$ evidentemente tiene imagen $H_1(R)\cap H_2(R)$ .
Sin embargo, tenga en cuenta que $H_1\cap H_2$ no tiene por qué ser sólo la intersección teórica de conjuntos con estructura reducida. Esto es cierto en la característica $0$ pero en la característica $p$ se nota que cosas como la intersección de $\mathrm{SL}_p$ y $Z(\mathrm{GL}_p)$ en $\mathrm{GL}_p$ te dan cosas como $\mu_p$ que es un punto no reducido.
2) Esto es realmente muy sofisticado. Ya que te has centrado en el functor de la perspectiva de los puntos, lo discutiré a grandes rasgos. A saber, la suposición ingenua es que el functor de puntos de $G/N$ debe ser $(G/N)(R)=G(R)/N(R)$ . Desgraciadamente, este no es el caso.
Por ejemplo, consideremos la inclusión $\mu_n\hookrightarrow \mathbb{G}_m$ en $\mathrm{Spec}(\mathbb{Q})$ y considerar el functor $X:\mathsf{Alg}_\mathbb{Q}\to\mathsf{Ab}$ que lleva $R$ a $X(R):=\mathbb{G}_m(R)/\mu_n(R)=R^\times/R^\times[n]$ . Si esto fuera representable entonces el mapa $X(\mathbb{Q})\to X(\overline{\mathbb{Q}})$ sería inyectiva con imagen precisamente $X(\overline{\mathbb{Q}})^{\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})}$ . Pensemos en el ejemplo cuando $n=2$ . Obsérvese entonces que el coset $\sqrt{2}(\overline{\mathbb{Q}}^\times[2])$ en $X(\overline{\mathbb{Q}})$ no es a imagen y semejanza de $X(\mathbb{Q})$ pero es invariante de Galois ya que los conjugados de Galois de $\sqrt{2}$ son $\pm \sqrt{2}$ que definen el mismo coset.
En esencia, el fracaso de la igualdad $X(\mathbb{Q})=X(\overline{\mathbb{Q}})^{\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})}$ es una indicación de que $X$ como un functor $\mathsf{Alg}_k\to\mathsf{Ab}$ no es una "gavilla de Galois" o "gavilla para la topología etale en $\mathrm{Spec}(k)$ '. Esto es malo porque todas las cosas representables son gavillas para esta topología. Entonces, lo que se hace en general es definir $G/N$ para no ser el presheaf que toma $R$ a $G(R)/N(R)$ pero el sheafificación de este presheaf (en realidad deberíamos sheafificar para una topología aún más fina--la llamada topología fppf). Esta sheafificación, como resulta, es siempre representable.
Como ejemplo, para el caso de $\mu_n\hookrightarrow\mathbb{G}_m$ Obsérvese que tenemos para cada $R$ un mapa natural $X(R)=R^\times/R^\times[n]\to R^\times=\mathbb{G}_m(R)$ dado por $x\mapsto x^n$ que, de hecho, es una inyección. Ahora, el fracaso de $\sqrt{2}(\overline{\mathbb{Q}}^\times[2])$ para estar en la imagen del mapa $X(\mathbb{Q})\to X(\overline{\mathbb{Q}})^{\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})}$ se manifiesta, como un subconjunto de $\mathbb{G}_m$ como el hecho de que $2\in\mathbb{G}_m(\overline{\mathbb{Q}})$ es ciertamente invariante de Galois, en la imagen de $X(\overline{\mathbb{Q}})\to \mathbb{G}_m(\overline{\mathbb{Q}})$ y mientras es la imagen de un punto $\mathbb{G}_m(\mathbb{Q})\to \mathbb{G}_m(\overline{\mathbb{Q}})$ (a saber $2$ ) este punto de $\mathbb{G}_m(\mathbb{Q})$ no es a imagen y semejanza de $X(\mathbb{Q})\to \mathbb{G}_m(\mathbb{Q})$ ( $2$ no es un cuadrado en $\mathbb{Q}^\times$ ).
De hecho, se ve que el fracaso de $X(\mathbb{Q})=X(\overline{\mathbb{Q}})^{\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})}$ se arregla mínimamente sustituyendo $X$ con $\mathbb{G}_m$ . Esta es, de hecho, la idea del proceso de sheafificación y, de hecho, la sheafificación de $X$ es $\mathbb{G}_m$ .
