A espacio sobrio es un espacio topológico tal que todo subconjunto cerrado irreducible es el cierre de exactamente un punto. Buscando ejemplos me convencí de que lo siguiente es cierto.
Cada finito $T_0$ espacio topológico es sobrio.
Como no he podido encontrar esto mencionado en ninguna parte, ¿puede alguien proporcionar una prueba para tenerla como referencia?
Esto es cierto. Basta con demostrar que todo espacio irreducible finito tiene un punto genérico, ya que $T_0$ implica que los puntos genéricos son únicos. Por lo tanto, dejemos que $X$ sea un espacio irreducible finito. Entonces $X$ es la unión de los cierres de sus puntos, pero ésta es una unión finita de conjuntos cerrados, por lo que la irreductibilidad dice que uno de estos cierres es $X$ ¡!
Supongamos que $X$ es un finito $T_0$ espacio y $A\subseteq X$ es un subconjunto cerrado irreducible. Sea $B\subset A$ sea un subconjunto propio cerrado máximo (que existe por finitud), y sea $x\in A\setminus B$ . Por la maximalidad de $B$ , $B\cup\overline{\{x\}}$ debe ser todo $A$ . Por irreducibilidad de $A$ Esto significa que $B$ o $\overline{\{x\}}$ debe ser todo $A$ y por lo tanto $\overline{\{x\}}=A$ y $x$ es un punto genérico de $A$ .
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