Orden del subgrupo cíclico

Question

Esto debería ser fácil, pero me sigo atascando en él.

Supongamos que $D$ es un grupo cíclico de orden $m$ (escrito de forma aditiva) y entonces dejemos que $D[n] = \{x \in D : nx = 0\}$ .

Estoy tratando de mostrar $D[n]$ tiene orden $d$ , donde $d = hcf(m,n)$ . Puedo ver que $D[n]$ debe ser generado por $\frac{m}{d}$ y esto tiene el orden requerido, pero ¿cómo demostrar que este es el generador? Estoy seguro de que tengo que usar el lema de Bezouts en alguna parte, pero no lo veo.

Gracias

Answer 1

No necesitas el lema de Bézout. Sea $g$ sea un generador de $D$ . Entonces

$$k\cdot g \in D[n] \iff (nk)\cdot g = 0 \iff m\mid nk.$$

Ahora sólo tienes que escribir $n = \nu d$ y $m = \mu d$ y ves que

$$m\mid nk \iff \mu \mid \nu k \iff \mu \mid k,$$

desde $\gcd(\mu,\nu) = 1$ .