Que $X_1$ y $X_2$ dos v.a. continua, mi pregunta es: ¿Qué es el p.d.f $Z=X_1/X_2$?
Respuestas
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Asumamos primero que $X_1$ $X_2$ son independientes continuo de variables aleatorias.
La función de distribución acumulativa para $Z$ es $$ \begin{eqnarray} F_Z(z) &=& \mathbb{P}( X_1/X_2 \le z) = \mathbb{P}( X_1 \le X_2 z ; X_2 >0) + \mathbb{P}( X_1 \ge X_2 z ; X_2< 0) \\ &=& \mathbb{E}( F_{X_1}( z X_2) ; X_2 > 0) + \mathbb{E}( 1 - F_{X_1}( z X_2) ; X_2 < 0) \end{eqnarray} $$
El acumulado de la función $F_Z(z)$ es continuo, de modo que la densidad de probabilidad para $Z$ se encuentra por la diferenciación $f_Z(z) = F_Z^\prime(z)$: $$ f_Z(z) = \mathbb{E}( f_{X_1}( z X_2) de X_2 ; X_2 > 0) + \mathbb{E}( -f_{X_1}( z X_2) de X_2 ; X_2 < 0) = \mathbb{E}\left( \vert X_2\vert \cdot f_{X_1}(z X_2)\right) $$
Ejemplo
: veamos un ejemplo. Deje $X_1$ $X_2$ ser independiente de las variables aleatorias de cada una de la distribución normal estándar. Entonces $$ \begin{eqnarray} f_Z(z) &=& \mathbb{E}\left( \vert X_2\vert \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} z^2 X_2^2} \right) \\ &=& \int_{-\infty}^\infty \vert x\vert \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} z^2 x^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} x^2} \mathrm{d} x \\ &\stackrel{\text{use parity}}{=}& \frac{1}{2 \pi} 2 \int_0^\infty x \exp\left( -\frac{x^2}{2} \left(1 + z^2 \right) \right) \mathrm{d} x \\ &\stackrel{t = x^2}{=}& \frac{1}{\pi} \int_0^\infty \exp(-t \left(1+z^2 \right)) \mathrm{d} t \\ &=& = \frac{1}{\pi} \frac{1}{1+z^2} \end{eqnarray} $$
Y hemos obtenido la espera de densidad de la distribución de Cauchy.
Variables dependientes
El de arriba derivación lleva a través de casi la misma para las variables dependientes, cuya medida es absolutamente continua, que es al $\mathrm{d}F_{X_1,X_2}(x_1,x_2) = f_{X_1,X_2}(x_1,x_2) \mathrm{d}x_1 \mathrm{d}x_2$. Dilip trabajado para ser $$ f_Z(z) = \int_{-\infty}^\infty \vert x_2\vert f_{X_1,X_2}(z x_2, x_2) \mathrm{d}x_2 = \mathbb{E}\left( \vert X_2\vert \cdot f_{X_1|X_2}(z X_2, X_2)\right) $$
La continuidad absoluta de la articulación de la medida es suficiente, pero no necesaria, a fin de asegurar que $Z$ es una variable aleatoria continua, es decir, que $Z$ también tiene absolutamente continuo de medir.
Es instructivo para trabajar algunos ejemplos para ver lo que sucede cuando la articulación de la medida no es absolutamente continua. Tomando prestado un ejemplo de este post, considere la posibilidad de $(X_1,X_2) = (\sin(U), \cos(U))$ donde $U$ sigue una distribución uniforme en $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ intervalo. Luego, a pesar de la articulación de la densidad no es absolutamente continua, $Z = X_1/X_2 = \tan(U)$ es variable aleatoria continua y sigue el estándar de la distribución de Cauchy.
Sin embargo, las cosas pueden ir mal. Considere este ejemplo de Didier Piau, y deje $(X_1,X_2) = (Y,Y)$ donde $Y$ sigue, digamos, de la distribución normal estándar. En este caso,$Z = X_1/X_2 = 1$, e $F_Z(z) = \mathbf{1}_{z \ge 1}$, de manera que la medida no es absolutamente continua.
Dilip Sarwate
Puntos
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Como una alternativa a Sasha la respuesta, con $Z = Y/X$, $F_Z(z)= P\{Y/X \leq z\}$ es el total de masa de probabilidad en la región de la $x$-$y$ avión, donde se $y \leq zx$. Aunque el OP no ha estado así, supongo que se refería a que $X$ $Y$ son conjuntamente continua, en cuyo caso esta probabilidad puede ser obtenido mediante la integración de la conjunta de la función de densidad de $f_{X,Y}(x,y)$ sobre esta región. Bosquejar la región en cuestión (por la facilidad en la creación de la las integrales) tenemos $$\begin{align*} F_Z(z) &= \int_{x=0}^{\infty}\int_{y=-\infty}^{zx} f_{X,Y}(x,y) \mathrm dy\ \mathrm dx + \int_{x=-\infty}^{0}\int_{y=zx}^{\infty} f_{X,Y}(x,y) \mathrm dy\ \mathrm dx,\\ f_Z(z) = \frac{\mathrm d}{\mathrm dz}F_Z(z) &= \int_{0}^{\infty} x\cdot f_{X,Y}(x,zx) \mathrm dx - \int_{-\infty}^{0} x\cdot f_{X,Y}(x,zx) \mathrm dx, \end{align*} $$ a través de la fórmula de la "diferenciación bajo el signo integral".
Cuando la articulación de la densidad de $X$ $Y$ tiene simetría circular sobre el origen, a continuación, $X$ $Y$ son, en general, dependiente de la variables aleatorias, excepto en el caso especial cuando el marginal las densidades de $X$ $Y$ cero significa normal densidades con idéntico varianza. Para circular simétrica de la articulación de las densidades, las integrales anteriores pueden ser evaluados fácilmente por el cambio a coordenadas polares, y aún más, simplemente señalando que la volumen bajo la superficie en la región de integración es una función lineal del ángulo de $\theta$ entre la línea de $y = zx$ y el $x$ eje, con el volumen $0$ en el ángulo $\theta = -\pi/2$ y $1$$\theta = \pi/2$. Desde $\theta = \arctan(z)$, obtenemos $$ F_Z(z) = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}\arctan(z) $$ y por lo tanto $Z = Y/X$ tiene una densidad de Cauchy si $X$ $Y$ han un conjunto de densidad que es de forma circular simétrica respecto al origen.
El más detallada de cálculo es como sigue. Si $f_{X,Y}(x,y) = g(r)$, entonces a partir de la $$\int_{x=-\infty}^{\infty}\int_{y=-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,y) \mathrm dy\ \mathrm dx = \int_0^{\infty}\int_0^{2\pi} g(r)\cdot r\cdot \mathrm d\theta\ \mathrm dr = 1$$ so that $\int_0^{\infty} g(r)\ \mathrm dr = 1/2\pi$, tenemos $$\begin{align*} F_Z(z) &= \int_{x=0}^{\infty}\int_{y=-\infty}^{zx} f_{X,Y}(x,y) \mathrm dy\ \mathrm dx + \int_{x=-\infty}^{0}\int_{y=zx}^{\infty} f_{X,Y}(x,y) \mathrm dy\ \mathrm dx\\ &= 2\int_{\theta=-\pi/2}^{\arctan(z)}\int_{r=0}^{\infty} r \cdot g(r) \mathrm dr \ \mathrm d\theta\\ &= 2(\arctan(z) + \pi/2)/(2\pi) = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}\arctan(z) \end{align*} $$ y la de Cauchy de la densidad se obtiene sobre la diferenciación.
