Digamos que $(X_1, \dots, X_4) \sim Dirichlet(\alpha_1, \dots, \alpha_4)$ con $\sum_{i=1}^4 X_i=1$ . Quiero encontrar la distribución de $(X_1, X_2)$ .
Conozco las distribuciones marginales de los $X_i$ (contestado en otras preguntas en este sitio) pero no parece que esto haya sido contestado.
Denote el pdf completo de la junta por $f_0$ para que $f_0(x_1, x_2, x_3, x_4) = \frac{1}{B(\vec \alpha)} \prod_{i=1}^4 x_i^{\alpha_i-1}$ . Denotaré el pdf conjunto de $(X_1, X_2)$ por $g$ .
En primer lugar, ya que $X_4 = 1 - X_1 - X_2 - X_3$ parece que sólo debería considerar $X_1$ , $X_2$ y $X_3$ y, por tanto, sólo tendré que hacer una única integración.
Esto significa que voy a trabajar con $$ f(x_1, x_2, x_3) := \frac{x_1^{\alpha_1 - 1} x_2^{\alpha_2 - 1} x_3^{\alpha_3 - 1}(1-x_1-x_2-x_3)^{\alpha_4-1}}{B(\vec \alpha)}. $$
De ello se deduce que $$ g(x_1, x_2) = \int_{x_3} f(x_1, x_2, x_3) dx_3 $$
$$ = \frac{x_1^{\alpha_1-1} x_2^{\alpha_2-1}}{B(\vec \alpha)} \int_{x_3} x_3^{\alpha_3-1} (1-x_1-x_2-x_3)^{\alpha_4-1} dx_3. $$
Mis preguntas:
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¿Cuáles son los límites de la integración en este caso?
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¿Cómo se hace realmente esta integral? Supongo que tengo que meterla con calzador en una integral beta, pero no veo cómo.
Para los límites de la integración, ciertamente $x_3 \geq 0$ pero no sé cuál es el límite superior. ¿Sería simplemente $0 \leq x_3 \leq 1 - x_1 - x_2$ ?
En cuanto a la integral real, si estoy en lo cierto sobre $0 \leq x_3 \leq 1 - x_1 - x_2$ entonces sólo tengo que ser capaz de hacer $$ I = \int_{0}^{1-k} t^{\alpha-1}(1-k-t)^{\beta-1} dt $$ donde $k = x_1 + x_2$ , $\alpha = \alpha_3$ y $\beta = \alpha_4$ . Esto se parece mucho a una beta incompleta, pero no del todo.
