Para la parte (b), hay que tener un poco de cuidado.
Considere el ejemplo en el que $\Omega = \mathbb C$ , $a = 0$ y $$ f(z) = z^2 (z-1)$$ Entonces $f$ desaparece con multiplicidad dos en $a = 0$ . Podrías tener la tentación de escribir $$ f(z) = g(z)^2$$ donde $$ g(z) = z \sqrt{z - 1}.$$ Por desgracia, esto no funciona del todo porque $z \sqrt{z-1}$ tiene un corte de rama: no hay manera de escoger signos para la raíz cuadrada tales que $z \sqrt{z-1}$ es continua, y más aún holomorfa, en el conjunto de $\mathbb C$ .
Sin embargo, para la parte (a), es es generalmente es posible escribir $f(z) = g(z)^m$ en un pequeño barrio abierto de $a$ .
Para demostrarlo, primero hay que observar que existe una vecindad abierta convexa $U$ de $a$ donde $h(z)$ no desaparece; esto se deduce por argumentos de continuidad.
[Como se define en su pregunta, $h(z)$ es la función holomorfa, no evanescente en $a$ , de tal manera que $f(z) = (z-a)^m h(z)$ .]
Ahora $h'(z)/h(z)$ está bien definida y es holomorfa en $U$ . Desde $U$ es convexo, un corolario del teorema de Cauchy dice que $h'(z)/h(z)$ tiene una antiderivada $H(z)$ tal que $$H'(z) = \frac{h'(z)}{h(z)}. $$ Esto implica que $$\frac{d}{dz}(h(z)e^{-H(z)}) = 0,$$ lo que implica que $$h(z) = e^{H(z)},$$ posiblemente después de absorber una constante de integración en la definición de $H(z)$ .
A continuación, puede definir la función $$g(z) = (z - a) e^{H(z)/m},$$ que es holomorfa en la vecindad abierta convexa $U$ de $a$ . En efecto, esta función satisface $$ f(z) = g(z)^m$$ para $z \in U$ . Pero por supuesto, $g(z)$ sólo se define en $U$ ; no está definida en el conjunto de $\Omega$ .
El resultado es: $f(z) = g(z)^m$ localmente pero no globalmente.
