Prueba de que la estimación es válida

Question

Teorema : Dejemos que $U$ sea un subconjunto abierto y acotado de $\mathbb{R}^n$ y supongamos que $\partial{U}$ es $C^1$ . Supongamos que $1 \leq p<n$ y $u \in W^{1,p}(U)$ . Entonces $u \in L^{p^{\ast}}(U)$ con la estimación $||u||_{L^{p^{\ast}}}(U) \leq C ||u||_{W^{1,p}(U)}$ la constante $C$ dependiendo sólo de $p,n$ y $U$ .

Para la demostración utilizaremos los tres teoremas siguientes:

Teorema 1 : Supongamos que $U$ está acotado y $\partial{U}$ es $C^1$ . Seleccione un conjunto abierto acotado $V$ tal que $U \subset \subset V$ . Entonces existe un operador lineal acotado $E: W^{1,p}(U) \to W^{1,p}(\mathbb{R}^n)$ tal que para cada $u \in W^{1,p}(U)$ :

• $Eu=u$ a.e. en $U$
• $Eu$ cuenta con el apoyo de $V$ y
• $||Eu||_{W^{1,p}(\mathbb{R}^n)} \leq C ||u||_{W^{1,p}(U)}$

Teorema 2 : Supongamos que $u \in W^{k,p}(U)$ para algunos $1 \leq p<\infty$ , y establecer $u^{\epsilon}=\psi_{\epsilon} \ast u$ en $U_{\epsilon}$ . Entonces $u^{\epsilon} \in C^{\infty}(U_{\epsilon})$ para cada $\epsilon>0$ y $u^{\epsilon}\to u$ en $W_{\text{loc}}^{k,p}(U)$ , como $\epsilon \to 0$ .

Teorema 3 : Supongamos que $1 \leq p<n$ . Existe una constante $C$ , dependiendo sólo de $p$ y $n$ , de tal manera que $||u||_{L^{p^{\ast}}(\mathbb{R}^n)} \leq C ||Du||_{L^p(\mathbb{R}^n)}$ para todos $u \in C_C^1(\mathbb{R}^n)$ .

Desde $\partial{U}$ es $C^1$ existe, según el Teorema 1, una extensión $Eu=\overline{u} \in W^{1,p}(\mathbb{R}^n)$ , de tal manera que

$(\star) \left\{\begin{matrix} \overline{u}=u \text{ in U}, \overline{u} \text{ has compact support , and}\\ ||\overline{u}||_{W^{1,p}(\mathbb{R}^n)} \leq ||u||_{W^{1,p}( U )} \end{matrix}\right.$

Porque $\overline{u}$ tiene soporte compacto, sabemos por el Teorema 2 que existen funciones $u_m \in C_C^{\infty}(\mathbb{R}^n)$ tal que $u_m \to \overline{u}$ en $W^{1,p}(\mathbb{R}^n) (1)$ .

Ahora, según el Teorema 3, $||u_m-u_l||_{L^{p^{\ast}}(\mathbb{R}^n)} \leq C ||Du_m-Du_l||_{L^p(\mathbb{R}^n)}$ para todos $m,l \geq 1$ .

Así, $u_m \to \overline{u}$ en $L^{p^{\ast}}(\mathbb{R}^n) (2)$ también.

Dado que el Teorema 3 también implica $||u_m||_{L^{p^{\ast}}(\mathbb{R}^n)} \leq C ||D u_m||_{L^p(\mathbb{R}^n)}$ las afirmaciones (1) y (2) dan como resultado el límite $||\overline{u}||_{L^{p^{\ast}}(\mathbb{R}^n)} \leq C ||D \overline{u}||_{L^p(\mathbb{R}^n)}$ .

Esta desigualdad y $(\star)$ ceder la prueba.

$$$$ First of all, why does the inequality $ ||u_m-u_l||_{L^{p^\ast}(\mathbb{R}^n)} |leq C |||Du_m-Du_l||_{L^p(\mathbb{R}^n)} $ for all $ m,l \Nde 1 $ imply that $ u_m \a \a \a sobrelínea{u} $ in $ L^{p^\\ast}(\mathbb{R}^n) $ ?

$$$$

¿Cómo pasamos de $||\overline{u}||_{L^{p^{\ast}}(\mathbb{R}^n)} \leq C ||D \overline{u}||_{L^p(\mathbb{R}^n)}$ y $(\ast)$ que $||u||_{L^{p^{\ast}}(U)} \leq C ||u||_{W^{1,p}(U)}$ ?

Answer 1

La primera cuestión se desprende del hecho de que $u_m \rightarrow \overline{u}$ en $W^{1,p}(\mathbb{R}^n)$ implica

$||u_m-u_l||_{L^{p^{\ast}}(\mathbb{R}^n)} \leq C ||Du_m-Du_l||_{L^p(\mathbb{R}^n)} \leq C[||Du_m-D\overline{u}||_{L^p(\mathbb{R}^n)} + ||D\overline{u}-Du_l||_{L^p(\mathbb{R}^n)}] \rightarrow 0$

como $m,j \rightarrow \infty$ y $\lbrace u_m \rbrace \subset L^{p^*}(\mathbb{R}^n)$ es una secuencia de Cauchy, y la única posibilidad es que $u_m \rightarrow \overline{u}$ en $L^{p^*}(\mathbb{R}^n)$ . La segunda pregunta se deriva del hecho de que tenemos (i) $||\overline{u}||_{L^{p^*}(\mathbb{R}^n)} \leq C ||D \overline{u} ||_{L^{p}(\mathbb{R}^n)}$ y desde el punto $(\star)$ $\overline{u}=u=0$ en $\mathbb{R}^n \setminus U$ desde $\mathrm{supp}(\overline{u})=\mathrm{supp}(u) \subset U$ es un conjunto compacto, de nuevo $\mathrm{supp}(D\overline{u})\subseteq \mathrm{supp}(\overline{u})$ y $u=\overline{u}$ en $U$ , considere las restricciones de $U$ (i) se convierte en

$||u||_{L^{p*}(U)} \leq C ||Du||_{L^p(U)} \leq C ||u||_{W^{1,p}(U)}$

con la última estimación sigue por definición de $W^{1,p}$ -normas.