Constant times Supremum

Question

Estoy tratando de mostrar que $\sup \{ rx \ | \ x \in S \} = r \sup S$ donde $S$ es un conjunto de números reales y $r$ es un número real mayor que 0.

Empecé por dejar que $b = \sup S$ . Eso implicaría que $b \geq x$ para todos $x \in S$ y $b \leq y$ para cualquier límite superior $y$ .

Desde $b \geq x$ , lo que implica $rb \geq rx$ . Así que he demostrado que $rb$ es un límite superior de $\{ rx \ | \ x \in S \}$ .

Editar : demuestran que $rb$ es el límite superior mínimo de $\{ rx \ | \ x \in S \}$ .

Desde $b \leq y$ entonces $rb \leq ry$ . Esto significa que $rb$ es menor o igual que cualquier límite superior de $\{rx \ | \ x \in S \}$ . Así que $rb$ debe ser el límite superior mínimo.

Answer 1

Para demostrarlo, $t$ es el sumo de un conjunto $S$ Tendrá que verificar que

• Para todos $s \in S$ , $s \le t$ .
• Para cualquier límite superior $u$ de $S$ , $t \le u$

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Una pista:

Demostrar que $r \sup S$ cumple con la definición de la $\sup rS$ y observar que $\sup A$ es único para cualquier conjunto $A$ .

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Dejemos que $x \in rS$ . $\quad \bullet $ Tenga en cuenta que $x=rs$ para algunos $s \in S$ . Ya que para todos los $s \in S$ , $s \le b=\sup S$ , $sr \le br$ para todos $s \in S$ . Así, para cualquier $x \in rS$ debemos tener, $x \le br$ . $\quad \bullet $ Dejemos que $u$ sea un límite superior para $rS$ . Entonces, $x \le u$ . Esto significa, $s \le \dfrac u r$ . Desde $b=\sup S$ es el menor límite superior, debemos tenerlo, $\dfrac u r \ge b$ . Así que, tienes eso, $br \le u$ . ( Importante : Para asegurarte de que entiendes la prueba, descifra dónde he utilizado el hecho de que $r \gt 0$ .)

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Ejercicio adicional:

Dejemos que $r \le 0$ ¿Qué puede decir sobre el $\sup rS$ ? $\quad$ Sugerencia : $\sup -S=-\inf S$