¿Existe alguna relación directa entre los momentos de primer, tercer y cuarto orden?

Question

Supongamos que $X$ es una variable aleatoria de valor real, con $EX^4=1$ y $EX\leq0$ . Encontrar una constante explícita $c<1$ tal que $EX^3<c$ .

Answer 1

$$ E(X_+) + E(X_-) = E(|X|) \le E(X^4)^{1/4} \le 1 $$ $$ E(X_+) \le E(X_-) $$ Por lo tanto, $$ E(X_+) \le 1/2 $$ Aplicar Hoelder $E(UV) \le E(U^3)^{1/3} E(V^{3/2})^{2/3}$ con $U = X_+^{1/3}$ , $V = X_+^{8/3}$ : $$ E(X_+^3) \le E(X_+)^{1/3} E(X_+^4)^{2/3} \le (1/2)^{1/3} $$ $$ E(X_-^3) \ge 0 $$ $$ E(X^3) = E(X_+^3) - E(X_-^3) \le (1/2)^{1/3} $$