Supongamos que $X$ y $Y$ sean dos Poisson independientes $(\lambda)$ variables aleatorias. Encontrar $P(X<Y)$ .
Mi intento $:$
\begin{align*}P(X<Y) &= \sum\limits_{x=0}^{\infty} \sum\limits_{y=x+1}^{\infty} P(X=x,Y=y) \\ &= \sum\limits_{x=0}^{\infty} \sum\limits_{y=x+1}^{\infty} P(X=x) P(Y=y) \\ &= e^{-2\lambda} \sum\limits_{x=0}^{\infty} \frac {{\lambda}^x} {x!} \sum\limits_{y=x+1}^{\infty} \frac {{\lambda}^y} {y!} \\ &= e^{-2\lambda} \sum\limits_{x=0}^{\infty}\left( \frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!} - \frac{\lambda^x}{x!} \sum\limits_{y=0}^x \frac {\lambda^y}{y!} \right) \\ &= e^{-2\lambda} - e^{-2\lambda} \sum\limits_{x=0}^{\infty} \left( {{\frac {{\lambda}^x} {x!}} \sum\limits_{y=0}^{x} {\frac {{\lambda}^y} {y!}}} \right) \end{align*}
Ahora bien, ¿cómo puedo calcular $$\sum\limits_{x=0}^{\infty} \left( \frac {{\lambda}^x} {x!} \sum\limits_{y=0}^{x} \frac {{\lambda}^y} {y!} \right)$$ Por favor, ayúdenme en este sentido.
Muchas gracias.
