Sobre el homomorfismo de inclusión $\mathbb Z\to\mathbb Q$

Question

Esta pregunta es sobre el homomorfismo de grupo $i: \mathbb Z\to\mathbb Q$ dado por $m\mapsto m$ .

1) ¿Es la siguiente prueba de que la flecha $i$ en $\mathbf {Ab}$ ¿es la épica correcta? Deja que $h,h':\mathbb Q\to G$ sean homomorfismos de grupo. Supongamos que $h\circ i=h'\circ i$ . Entonces, para todos los $n$ , $h(i(n))=h'(i(n))$ es decir, $h(n)=h'(n)$ desde $i(n)=n$ . Así, $i$ es épica.

2) El homomorfismo de grupo $i: \mathbb Z\to\mathbb Q$ dado por $m\mapsto m$ se sabe que es un mónico que no se divide en $\mathbf {Ab}$ . ¿Por qué? Supongamos que es mónico dividido. Entonces hay un grupo homo $l:\mathbb Q\to \mathbb Z$ tal que $l\circ i=1_\mathbb Z$ . ¿Con qué se contradice esto? Para cualquier $m\in \mathbb Z$ esto dice que $l(i(m))=m$ es decir, $l(m)=m$ . Así que si $l$ existe, entonces $l\restriction_\mathbb Z:\mathbb Z\to \mathbb Z$ debe estar dada por $m\mapsto m$ . Así que supongo que la afirmación que hay que demostrar es que no existe un homomorfismo de grupo $l:\mathbb Q\to\mathbb Z$ tal que $l(m)=m$ para todos $m\in\mathbb Z$ . ¿Cómo demostrarlo?

Answer 1

La inclusión $\mathbb{Z} \hookrightarrow \mathbb{Q}$ no es épica en $\mathbf{Ab}$ pero es épica en $\mathbf{Ring}$ así como en la categoría de grupos abelianos sin torsión.

Además, no existe ningún homomorfismo no nulo de $\mathbb{Q}$ a $\mathbb{Z}$ porque la imagen de cualquier número racional tendría que ser un número entero que fuera divisible por cada número entero distinto de cero, y ningún número entero distinto de cero es divisible por ningún número entero con un valor absoluto mayor.

Answer 2

1. Su argumento sólo demuestra que si $h\circ i=h’\circ i$ entonces $h(n)=h’(n)$ para todos $n\in\mathbb{Z}$ . Sin embargo, tiene que demostrar que $h(q)=h’(q)$ para todos $q\in\mathbb{Q}$ . Para ello, tendrá que utilizar el multiplicativo estructura de $\mathbb{Q}$ ya que esto no se deduce sólo de la estructura aditiva (la proyección canónica $\pi\colon\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ y el mapa cero $z\colon\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ satisfacer $\pi\circ i = z\circ i$ pero $\pi\neq z$ (nótese que se trata de homomorfismos de grupo, pero no de homomorfismos de anillo). Es decir, la incrustación es no un epimorfismo de grupos abelianos.

   Para completar el argumento y mostrar que es un epimorfismo en la categoría de anillos hay que tener cuidado. Si asume que los anillos siempre tienen un $1$ y que los homomorfismos de anillo mapean $1$ a $1$ entonces se puede utilizar el hecho de que en esas circunstancias, las unidades deben ser mapeadas a unidades y las inversas multiplicativas a inversas multiplicativas (que son únicas), por lo que se tendrá para cada $n\neq 0$ , $n\in\mathbb{Z}$ $$h\left(\frac{1}{n}\right) = h(n^{-1}) = h(n)^{-1} = h’(n)^{-1} = h’(n^{-1}) = h’\left(\frac{1}{n}\right)$$ y luego concluir que si $p,q\in\mathbb{Z}$ , $q\neq 0$ entonces $$h\left(\frac{p}{q}\right) = h(p)h(q^{-1}) = h’(p)h’(q^{-1}) = h’\left(\frac{p}{q}\right).$$

   Sin embargo, si no se asume que los anillos deben tener un $1$ o que los mapas entre anillos deben enviar $1$ a $1$ la reclamación es todavía verdadero; puede ver una prueba utilizando un zigzag en esta vieja respuesta mía . Obsérvese que esta última prueba, de hecho, ni siquiera utiliza el aditivo estructuras de $\mathbb{Z}$ y $\mathbb{Q}$ ; sólo se refiere a la estructura multiplicativa y a los mapas multiplicativos. Se trata de una prueba de que la incrustación es un epimorfismo en la categoría semigrupos, donde vemos tanto $\mathbb{Z}$ y $\mathbb{Q}$ como semigrupos multiplicativos.

2. Supongamos que $f\colon\mathbb{Q}\to\mathbb{Z}$ es un homomorfismo de grupo. Para cada $n\gt 0$ tenemos que $\frac{1}{n}$ se añade a sí mismo $n$ veces es igual a $1$ Por lo tanto $$f(1) = f\left(\sum_{i=1}^n \frac{1}{n}\right) = \sum_{i=1}^n f\left(\frac{1}{n}\right).$$ Si $f(1)=a\in\mathbb{Z}$ , entonces esto te dice que para cada $n\gt 0$ existe un $b\in\mathbb{Z}$ (A saber, $f(\frac{1}{n})$ ) tal que $nb = a$ . (Aquí, $nb$ significa " $b$ se añade a sí mismo $n$ veces", pero esto concuerda con la multiplicación habitual de enteros). Pero esto significa que $a$ es divisible por $n$ y esto debe valer para todo números naturales $n\gt 0$ . El único número entero con esta propiedad es $0$ , por lo que debemos tener $f(1)=0$ . En particular, no podemos tener $f(m)=m$ para todos $m\in\mathbb{Z}$ si $f$ es un mapa aditivo. (De hecho, debe tener $f(x)=0$ para todos $x$ ya que por lo anterior se concluye que todo entero debe mapear a $0$ y, por lo tanto, todo racional $\frac{p}{q}$ debe corresponder a un $q$ -elemento de torsión... y el único elemento de este tipo es $0$ ).

Answer 3

$\newcommand{\Ab}{\mathrm{Ab}}$ $\newcommand{\Mod}[1]{\,(\mathrm{mod}\,#1)}$

En cuanto a $(1)$ el fallo en tu prueba es que estás asumiendo que $h(n) = h'(n)$ para cada número entero $n$ implica $h(r)=h'(r)$ para cada racional $r$ . Para ver un ejemplo de que esto no tiene por qué ser así, se puede comprobar rápidamente que los mapas $$h:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}/\langle 1\rangle \\ x\mapsto x \Mod{1}$$ y $$h':\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}/\langle\textstyle{1}\rangle \\ x\mapsto 2x\Mod{1}$$ son homomorfismos que satisfacen $h(n)=0=h'(n)$ para cada número entero $n$ . Sin embargo, los mapas no son claramente iguales, ya que $h(1/2)=1/2$ pero $h'(1/2) = 0$ .