Demostrar que existe $t$ tal que $0\le t\le T$ y $\int_0^Te^{-x}y'y''\,dx=\int_0^ty'y''\,dx$ .

Question

Dejemos que $y(x)$ sea una solución a $y''+e^xy=0$ . Demostrar que existe $t$ tal que $0\le t\le T$ y $$\int_0^Te^{-x} y'y'' \, dx=\int_0^ty'y''\,dx.$$

Answer 1

El enunciado es trivial para la solución cero, así que lo ignoraremos para el resto de la respuesta.

Tenga en cuenta que $ -\int_0^T e^{-x} y'y''dx = \int_0^T yy'dx = \frac{1}{2}\big(y(T)\big)^2 - \frac{1}{2}\big(y(0)\big)^2$ y $ -\int_0^t y'y''dx = \int_0^t e^x yy'dx. $

Esquema

Según los cálculos anteriores, basta con demostrar que para cualquier $T \geq 0$ existe un $t \in [0, T]$ tal que

$$\int_0^t e^x yy' \, dx = \int_0^T yy' \, dx \equiv \frac{1}{2}\bigl(y(T)\bigr)^2 - \frac{1}{2}\bigl(y(0)\bigr)^2.$$

Lo hacemos (Corolario 4) en un entorno convenientemente abstracto, es decir, cuando $y \colon [0,\infty) \to \mathbb R$ es una solución no trivial de $y'' + q(x) y = 0$ con $q \colon [0,\infty) \to \mathbb R$ positivo, no decreciente, y $C^1$ .

La clave de nuestro método es el segundo cero positivo de $yy'$ que denotamos por $x_2$ . El corolario 4 se desprende de los dos resultados siguientes, que hay que demostrar:

• La función $T \mapsto \int_0^T yy'\,dx$ (que es esencialmente $T \mapsto \bigl(y(T)\bigr)^2$ ) alcanza su máximo y mínimo global, y por tanto cada valor de su imagen, en algún lugar del intervalo $[0, x_2]$ (Corolario 2). Esto se debe a que $y$ es oscilante y que el valor absoluto de los extremos relativos de $y$ son no crecientes (Proposición 1).
• Para $\tau \in [0, x_2]$ demostramos la existencia de un $t \in [0, \tau]$ Satisfaciendo a $\int_0^t e^x yy'\,dx = \int_0^\tau yy'\,dx$ (Proposición 3). Intuitivamente, si dejamos que el límite superior de las integrales sea variable, la integral de la izquierda alcanzará un valor determinado antes que la de la derecha debido al factor extra $e^x$ (que es, fundamentalmente, mayor o igual que $1$ y no decreciente).

Los detalles

Propuesta 1. Dejemos que $q \colon [0,\infty) \to \mathbb R$ sea positivo, no decreciente, y $C^1$ . Dejemos que $y\colon [0,\infty) \to \mathbb R$ sea una solución no trivial de $y'' + q(x) y = 0$ . Entonces:

1. El conjunto de ceros y extremos locales de $y$ es contablemente infinito y no tiene ningún punto límite (en todo el dominio $[0, \infty)$ ). Así, se pueden enumerar en orden creciente. Denotamos los ceros en $(0,\infty)$ como $a_1 < a_2 < \dotsb$ y los extremos en $(0,\infty)$ como $b_1 < b_2 < \dotsb$ .

2. $y$ es oscilante, es decir $\lim_{n \to \infty} a_n = \infty$ .

3. En $(0,\infty)$ los ceros y los extremos están entrelazados. Es decir, o bien $a_1 < b_1 < a_2 < b_2 < \dotsb$ o $b_1 < a_1 < b_2 < a_2 < \dotsb$ .

4. $\bigl(y(b_1)\bigr)^2 \geq \bigl(y(b_2)\bigr)^2 \geq \dotsb$ .

Prueba. Utilizando el teorema de comparación de Sturm en $y$ y la solución a $\tilde y'' + q(0) \tilde y = 0$ produce un conjunto ilimitado de ceros de $y$ . Ahora bien, si el conjunto $A$ de todos los ceros de $y$ tuviera un punto límite $a^* \in [0,\infty)$ y después de elegir una secuencia $a^{(n)} \to a^*$ en $A$ , nos encontraríamos con que $y(a^*) = \lim y(a^{(n)}) = 0$ y $$ y'(a^*) = \lim_{x \to a^*} \frac{y(x) - y(a^*)}{x - a^*} = \lim_{n \to \infty} \frac{y(a^{(n)}) - y(a^*)}{a^{(n)} - a^*} = \lim_{n \to \infty} \frac{0 - 0}{a^{(n)} - a^*} = 0. $$ Por la unicidad de la solución se deduce que $y$ es idénticamente cero, una contradicción. Por lo tanto, $A$ no tiene un punto límite. Hemos demostrado 1 para los ceros, junto con 2.

A continuación, el teorema de Rolle nos dice que existe al menos un extremo entre cada par de ceros sucesivos $a_n$ y $a_{n+1}$ . Por otro lado, $y'' = -qy$ no tiene ceros en los intervalos $(a_n, a_{n+1})$ así como $(0, a_1)$ Así que $y'$ es estrictamente monótona en cada uno de esos intervalos. En particular, $y'$ tiene como máximo un cero en cada uno de esos intervalos. Y por la unicidad de las soluciones, los ceros y los extremos interiores no coinciden para las soluciones no triviales. Esto completa los puntos 1 y 3.

Finalmente, para 4, un truco (posiblemente) estándar (cf. [1], p. 232) es observar que $q' \geq 0$ implica $$ \left(y^2 + \frac{(y')^2}{q} \right)' = \frac{2y'(qy+y'')}{q} - \frac{q'(y')^2}{q^2} = -\frac{q'(y')^2}{q^2} \leq 0, $$ lo que significa que la suma que se diferencia es no creciente. Esto nos lleva inmediatamente a 4 porque $y'(b_n) = 0$ para todos $n$ .

Corolario 2. Dejemos que $a_n$ y $b_n$ sea definida como en la proposición anterior, y sea $x_2 = \max\{a_1, b_1\}$ que según el punto 3 de la proposición es el segundo cero positivo más pequeño de $yy'$ . Definir $L \colon [0, \infty) \to \mathbb R$ por $L(T) = \frac{1}{2}\bigl(y(T)\bigr)^2 - \frac{1}{2}\bigl(y(0)\bigr)^2 = \int_0^T yy' \, dx$ . Entonces $L([0,x_2]) = L([0,\infty))$ .

Prueba. El máximo global de $y^2$ se produce en $0$ o $b_1$ mientras que el mínimo global de $y^2$ se produce en cualquier cero de $y$ , incluyendo $a_1$ . Utilice el teorema del valor intermedio.

Propuesta 3. Para $0 \leq x_1 \leq x_2$ , dejemos que $f \colon [0, x_2] \to \mathbb R$ sea una función integrable que satisfaga

1. $\left.f\right|_{(0,x_1)} \geq 0$ y $\left.f\right|_{(x_1,x_2)} \leq 0$ o
2. $\left.f\right|_{(0,x_1)} \leq 0$ y $\left.f\right|_{(x_1,x_2)} \geq 0$ .

Dejemos que $g \colon [0, x_2] \to [1, \infty)$ sea una función no decreciente e integrable. Entonces, para cualquier $\tau \in [0, x_2]$ existe un $t \in [0, \tau]$ tal que $\int_0^\tau f \,dx = \int_0^t gf \, dx$ .

Prueba. Basta con demostrar el primer caso. Lo descomponemos en tres casos más pequeños:

• Si $\tau \in [0, x_1]$ entonces $\int_0^\tau gf \, dx \geq \int_0^\tau f \, dx$ por lo que la conclusión se deduce por el teorema del valor intermedio.
• Si $\tau \in (x_1, x_2]$ pero $\int_0^\tau f \, dx \geq 0$ entonces existe un $\tilde \tau \in [0, x_1]$ tal que $\int_0^\tau f \, dx = \int_0^{\tilde\tau} f \, dx$ y reducimos al caso anterior.
• Si $\tau \in (x_1, x_2]$ y $\int_0^\tau f \, dx < 0$ entonces $\int_0^\tau g(x)f(x) \, dx \leq \int_0^\tau g(x_1)f(x) \, dx \leq \int_0^\tau f(x) \, dx$ y para ello utilizamos el teorema del valor intermedio.

Corolario 4. Dado cualquier $T \in [0,\infty)$ existe un $t \in [0, T]$ tal que $$\int_0^t e^x yy' \, dx = \int_0^T yy' \, dx.$$

Prueba . Por el Corolario 2, existe un $\tau \in [0, \min\{x_2, T\}]$ tal que $\int_0^\tau yy' \, dx = \int_0^T yy' \, dx$ . Aplicar la proposición 3 con $f = yy'$ y $g = \exp$ .

Bibliografía

[1]: Agarwal y O'Regan, Introducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias (1ª ed., 2008)

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P.D. La forma exacta de las soluciones puede darse en términos de las funciones de Bessel: $$ y(x) = \alpha J_0(2e^{x/2}) + \beta Y_0(2e^{x/2}), $$ donde $J_\nu$ y $Y_\nu$ son las funciones de Bessel de $\nu$ -de primer y segundo orden, respectivamente, y $\alpha, \beta \in \mathbb R$ . El Salida de Wolfram Alpha para el ODE tiene un gráfico de soluciones de muestra.