Estoy estudiando el artículo de Furstenberg Ergodicidad estricta y transformación del toro y me encuentro con la siguiente construcción. Definir la secuencia $(v_k)_{k \in \mathbb{N}}$ como $v_1 =1, v_{k+1}=2^{v_k}+v_k+1$ y la secuencia $(n_k)_{k \in \mathbb{Z} \backslash \{0\}}$ como $n_k=2^{v_k}$ para $k>0$ y $n_k = - n_{-k}$ para $k<0$ . Considere la función $H(\theta) : [0,1) \rightarrow \mathbb{R}$ dada por la serie $H(\theta) = \sum \limits_{k \neq 0} \frac{1}{|k|} e^{2\pi i n_k \theta} = 2 \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} \cos (2\pi n_k \theta)$ . Por supuesto que hay $H(0) = + \infty$ . Desde $n_k$ tiende monótonamente a cero, sabemos que la serie converge para todo $\theta \in (0,1)$ e incluso converge unformemente en cada intervalo $[\varepsilon, 1-\varepsilon]$ para $\varepsilon \in (0, \frac{1}{2})$ (esto se puede ver por el Teorema 2.7 en Serie trignonométrica de A. Zygmund). Esto implica que $H$ es continua en $(0,1)$ . Furstenberg dice que $H$ no es igual en casi todas partes (con respecto a la medida de Lebesgue) a una función continua. ¿Por qué? Sería cierto si el límite $\lim \limits_{\theta \rightarrow 0} H(\theta)$ sería $+ \infty$ o $- \infty$ o no existía, pero ¿es el caso? Furstenberg argumenta que $H \in L^2(0,1)$ y $\sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} = +\infty$ por lo que la serie no es sumable en Ceasaro $0$ pero no sé qué relación tiene eso con la continuidad.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Dejemos que $a_j$ sean los coeficientes de Fourier de $H$ para que $a_j = 1/|k|$ si $j=n_k$ y $0$ de lo contrario. Si $H$ fueran casi siempre iguales a una función continua, digamos $h$ , entonces las sumas parciales de Cesaro $$ \sigma_n(h,\theta) := \sum_{j=-n}^n a_j e^{i2\pi j \theta} (1-|j|/(n+1)) $$ tendería en todas partes al número finito $h(\theta)$ . (Este es el teorema de Fejer. Véase, por ejemplo, el teorema 3.1 de Katznelson; este resultado está también en el libro de Zygmund, probablemente en el capítulo III, pero no he buscado la ubicación).
Pero es fácil ver, como usted señala, que $\sigma_n(h,0) \rightarrow \infty$ . Esta contradicción demuestra que $H$ no es casi siempre igual a una función continua.
