Razón para ignorar la integral de colisión en la jerarquía BBGKY $f_2$ ?

Question

Al derivar la ecuación de Boltzmann de la jerarquía BBGKY uno de los puntos de partida es la ecuación $$ \newcommand{\p}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \newcommand{\f}[2]{\frac{ #1}{ #2}} \newcommand{\l}[0]{\left(} \newcommand{\r}[0]{\right)} \newcommand{\mean}[1]{\langle #1 \rangle}\newcommand{\e}[0]{\varepsilon} \newcommand{\ket}[1]{\left|#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right|} \newcommand{\braoket}[3]{\left<#1\right|#2\left|#3\right>} \l \p{}{t}+\f{\vec{p}_1}{m}\cdot \p{}{\vec{q}_1}+\f{\vec{p}_2}{m}\cdot \p{}{\vec{q}_2}-\p{U(|\vec{q}_1-\vec{q}_2|)}{\vec{q}_1}\cdot \l \p{}{\vec{p}_1}-\p{}{\vec{p}_2}\r\r f_2$$ $$=\int dV_3\l \p{U(|\vec q_1-\vec q_3|)}{\vec q_1}\cdot \p{}{\vec p_1}+\p{U(|\vec{q}_2-\vec{q}_3|)}{\vec{q}_2}\cdot \p{}{\vec p_2}\r f_3$$ El término del lado derecho se denomina integral de colisión y escala como $nd^3/\tau_c$ en comparación con el último término del LHS que escala como $1/\tau_c$ . Debido a este escalamiento en la derivación de la relación de Boltzmann el RHS se suele poner a cero. Entiendo completamente las matemáticas que hay detrás de esto, pero no la física. Así que, por favor, ¿puede alguien explicar la física de por qué el RHS (relativo a las colisiones con otras partículas del sistema) puede ser despreciado en comparación con el último término del LHS (relativo a las colisiones entre las dos partículas consideradas)?

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Como se ha sugerido en los comentarios, he aquí una definición de los términos de esta ecuación:

• $\vec q_i$ es la posición del $i$ de la partícula.
• $\vec p_i$ es el momento del $i$ de la partícula.
• $U(|\vec q_i-\vec q_j|)$ es el potencial de interacción entre el $i$ y el $j$ de las partículas.
• $f_n(\vec q_1,...,\vec q_n,\vec p_1,...,\vec p_n)$ (argumento omitido arriba) es la función de distribución de n partículas (es decir, la probabilidad de encontrar cualquier $n$ partículas con posición $\vec q_1,...,\vec q_n$ y los momentos $\vec p_1,...,\vec p_n$ ).
• $dV_3$ es un volumen de espacio de fase, $dV_3=d\vec q_3 d\vec p_3$ .

Answer 1

En la imagen de Boltzmann de las colisiones, la interacción $U$ es de corto alcance, lo que significa que si $|\vec q_i - \vec q_j| > d$ entonces $U(|\vec q_i-\vec q_j|)\approx 0$ . Una consecuencia de esto es que la integral de colisión de tres partículas sólo será distinta de cero cuando una tercera partícula se encuentre a una distancia $d$ de las partículas 1 o 2. Ahora debemos tener en cuenta que el objetivo final aquí es derivar una expresión para la integral de colisión de dos partículas en la primera ecuación de BBGKY, $$ \left( \frac{\partial }{\partial t} + \frac{\vec p_1}{m}\cdot\frac{\partial }{\partial \vec r_1}\right) f_1 = \int dV_2 \frac{\partial U(|\vec q_1-\vec q_2|)}{\partial q_1}\cdot\frac{\partial }{\partial \vec p_1} f_2 $$ Lo que sea $f_2$ surge de la resolución de la ecuación de BBGKY de dos partículas terminará en la integral del lado derecho de arriba. Esta integral sólo es distinta de cero cuando las partículas que colisionan 1 y 2 están dentro de $d$ entre sí. Así que el término de tres partículas en la segunda ecuación de BBGKY sólo afecta a la distribución de una partícula cuando los tres partículas están dentro de $d$ entre sí. Despreciando la integral sobre $f_3$ es una suposición de que tales interacciones con una tercera partícula son extremadamente raras, lo cual es razonable para los gases diluidos.