Grado de un conjunto algebraico

Question

Estoy aprendiendo sobre el grado de los conjuntos algebraicos. Conozco el definición de la Wikipedia, pero no me queda muy claro de qué se trata. ¿Podría alguien explicarme exactamente qué propiedad captura el grado de un conjunto algebraico, o cómo debería pensar en ello?

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_{PD: Esto era parte de otra pregunta mía, <a href="https://math.stackexchange.com/questions/1348589/basic-question-regarding-degrees-of-algebraic-sets">Pregunta básica sobre los grados de los conjuntos algebraicos </a>pero pensé que tal vez sería mejor preguntar esto por separado.}

Answer 1

El grado se considera mejor como una propiedad de las variedades proyectivas, ya que en $\mathbb{C}^n$ La existencia de un espacio lineal no es una propiedad intrínseca. Por ejemplo, en dos variables, $x=0$ y $x=y^2$ definen variedades indistintas, pero los grados de sus ecuaciones son diferentes. Por otra parte, en $\mathbb{P}^n$ se definen como ceros de polinomios homogéneos. En particular, se quiere decir que una hipersuperficie definida por un polinomio homogéneo de grado $d$ tiene grado $d$ como variedad. Esto se puede traducir como que, si intersecamos la hipersuperficie con una línea "general", deberíamos obtener $d$ puntos. Así, el grado de una variedad proyectiva arbitraria de dimensión $r$ en $\mathbb{P}^n$ es el número de puntos en la intersección de la variedad con un subespacio lineal general de dimensión $n-r$ . Que esta intersección sea de hecho un número finito de puntos e independiente del espacio lineal mientras sea general son teoremas un tanto técnicos. Por supuesto, tómese algo de esto con una pizca de sal.