Me pregunto cómo se puede generalizar el adjunto de Dirac a "espacios-tiempo" planos de dimensión y firma arbitrarias. Para ser más específicos, una situación estándar sería considerar un espacio de Minkowski de 4 dimensiones (firma $-+++$ ) y la representación de Dirac de 4 dimensiones (complejas) de $\text{spin}(3,1)$ a través de $\gamma^a= \left( \begin{array}{ccc} 0 & \sigma^a \\ \bar{\sigma}^a & 0 \\ \end{array} \right)$ . Entonces definiríamos el adjunto de Dirac como $\bar{\psi}=\psi^\dagger \gamma^0$ . Denotemos la representación por $D:\text{spin}(3,1) \rightarrow \text{Lin}(\bf{C^4})$ .
La propiedad fundamental del adjunto de Dirac de $\psi$ es que bajo una transformación de Lorentz, $\bar{\psi}$ se transforma en $\bar{\psi} D^{-1}$ que garantiza, por ejemplo, que $\bar{\psi} \psi$ es un escalar de Lorentz.
Así que ahora a mi preocupación. Me parece que esta construcción de $\bar{\psi}$ es superespecífica para las dimensiones 1+3 y quizás también para la forma quiral de $\gamma$ . ¿Y si consideramos una representación Diracy de $\text{spin}(n,m)$ ? Es decir, tomamos una colección de $d$ matrices dimensionales $\left\{ \gamma^a \mid 1\leq a \leq n+m \right\}$ tal que $\left\{ \gamma^a,\gamma^b \right\} = 2 \eta^{ab}$ ( $\eta$ es la matriz diagonal con $n$ 1 y $m$ $-1$ ) y utilizarlos para construir un $D$ representación dimensional. Entonces, si $\psi \in \bf{C}^D$ Me gustaría encontrar una función (ojalá real) $\psi \mapsto \bar{\psi} \psi$ que es invariante bajo la acción que acabamos de construir (más o menos).
