Dejemos que $F$ sea un campo de extensión de un campo $K$ . Dejemos que $E$ sea un campo intermedio tal que $E$ es Galois sobre $K$ , $F$ es Galois sobre $E$ y cada $\sigma\in\mathrm{Aut}_{K}E$ es extensible a $F$ . Demostrar que $F$ es Galois sobre $K$ .
La definición de una extensión de Galois $F/K$ en el libro es que el campo fijo de $\mathrm{Aut}_{K}F$ es $K$ . Así que sólo tengo que demostrar que $\mathrm{Aut}_{K}F$ no fija elementos de $F\setminus K$ . Si $x\in E\setminus K$ Entonces, como $E/K$ es Galois, existe $\sigma\in\mathrm{Aut}_{K}E$ tal que $\sigma(x)\neq x$ . Por la hipótesis, $\sigma$ se extiende a $F$ . Si $x\in F\setminus E$ Entonces, como $F/E$ es Galois, existe $\tau\in\mathrm{Aut}_{E}F$ tal que $\tau(x)\neq x$ y también $\tau\in\mathrm{Aut}_{K}F$ . Parece que esto completa el argumento, ¿tengo razón?
