Secuencia real acotada $\{x_{n}\}$ tal que $|x_{n+1}-x_{n}|<\epsilon , n\geq m.$

Question

Para la secuencia real $\{x_{n}\}$ condición $|x_{n+1}-x_{n}|<\epsilon , n\geq m$ no dice que la secuencia $\{x_{n}\}$ es convergente, como contraejemplo es la secuencia $\{\sqrt{n}\}.$ ¿Y si añadimos una cosa más que la secuencia $\{x_{n}\}$ ¿también está acotado? No he encontrado ningún contraejemplo. Por favor, ayuda. Muchas gracias.

Answer 1

Imagina una secuencia caminando desde $0$ a $1$ en el incremento $1/2$ . Luego vuelve a bajar al incremento $1/3$ . Luego vuelve a subir al incremento $1/4$ y así sucesivamente. Esto está acotado, y satisface su condición.

Answer 2

$0,\frac{1}{2},1,\frac{2}{3},\frac{1}{3},0,\frac{1}{4},\frac{2}{4},\frac{3}{4},1,\frac{4}{5},\frac{3}{5},\frac{2}{5},\frac{1}{5},0,\cdot\cdot\cdot$

Answer 3

Creo que puedes tomar $x_n=\sin(\sqrt{n})$ . En cuanto a todos los $a,b$ tenemos $|sin(b)-\sin(a)|\leq |b-a|$ obtenemos $|x_{n+1}-x_n|\leq \sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ Por lo tanto $x_{n+1}-x_n\to 0$ y si $x_n$ es convergente, entonces también es el caso de $x_{k^2}=\sin(k)$ , conocido por ser divergente.

Answer 4

No creo que sea necesariamente convergente. Piensa en una sinusoide tal que el paso entre cada dos términos se hace cada vez más pequeño como $n$ va a $+\infty$ .