Teorema de Cayley (simple)

Question

No me gusta hacer preguntas cuando no entiendo lo que está pasando, pero parece que no puedo entender el teorema de Cayley, lo repasamos en clase y también vi una conferencia en YouTube que tenía una prueba del teorema. Sin embargo, no puedo entenderlo del todo.

Una pregunta de mi libro de texto es la siguiente

Aplicar el Teorema de Cayley al grupo $U_{12}$ . Escriba un isomorfismo de grupo explícito de este grupo a un conjunto específico de permutaciones de $U_{12}$ .

Dónde $U_{12}$ es $\mathbb Z_{12}$ con todo lo que no tiene un inverso multiplicativo tirado.

¿Puede alguien traducir lo que dice esto al inglés y luego quizás volver a las matemáticas de una manera más sencilla?

Answer 1

Haré todo el ejercicio paso a paso como ilustración, pero para $U(8)$ en su lugar.

1. Encuentra los elementos de $U(8)=({\bf Z}/8{\bf Z})^\times$ : $\{1,3,5,7\}$ (técnicamente, sus clases de equivalencia).
2. Para cada elemento de $a\in U(8)$ , comprueba lo que la traducción a la izquierda* hace a los elementos del grupo: $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline a & x & 1 & 3 & 5 & 7 \\ \hline 1 & 1\cdot x & 1 & 3 & 5 & 7 \\ \hline 3 & 3\cdot x & 3 & 1 & 7 & 5 \\ \hline 5 & 5\cdot x & 5 & 7 & 1 & 3 \\ \hline 7 & 7\cdot x & 7 & 5 & 3 & 1 \\ \hline \end{array}$$
3. Dejemos que $\psi:U(8)\to {\rm Sym}(U(8))$ sea nuestro homomorfismo deseado de $U(8)$ en el grupo de permutaciones teóricas de los elementos de $U(8)$ . Entonces, para cada $a\in U(8)$ , $\psi(a)\in {\rm Sym}$ es la permutación $x\mapsto ax$ . Explícitamente, por ejemplo, en notación de dos líneas , $$\psi(5)=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 & 7 \\ 5 & 7 & 1 & 3\end{pmatrix},$$ simplemente leyendo la penúltima fila de la tabla que hice.

Por supuesto, sea cual sea la notación y el nivel de explicitación que el autor espera de ti, es tu deber averiguarlo por ti mismo, pero esta es la idea.

*Con la traducción a la izquierda nos referimos al mapa $x\mapsto ax$ bajo la operación de grupo. En un grupo abeliano, la traslación a la izquierda y a la derecha son de hecho lo mismo.

Answer 2

Considere el grupo $U_{12}$ que tiene $\phi(12)=4$ elementos. Llamémoslos $x_1,x_2,x_3,x_4$ . Si conoces los cuatro elementos, tendrás que escribirlos explícitamente.

Ahora el teorema de Cayley dice que cada uno de los cuatro elementos define una permutación:

$$f_i(x_j)=x_ix_j \,.$$

El problema te pide que escribas explícitamente los cuatro elementos, y que calcules las cuatro funciones...

Answer 3

Un grupo es esencialmente una colección de transformaciones invertibles que se pueden hacer sobre algo. Cada elemento es una transformación, y la ley del grupo es la composición. El teorema de Cayley es básicamente lo que justifica rigurosamente esta idea: los grupos pueden ser vistos como una colección de formas de barajar objetos, lo que significa que deberían actuar como un subgrupo de algún grupo simétrico (es decir, fundamentalmente todos los grupos son sólo permutaciones de cosas). Así que quieren que notes un par de cosas:

- $U_{12}$ es isomorfo a algún grupo de permutación

-Cada elemento de $U_{12}$ es entonces una forma de barajar los objetos.

-esto significa que se puede ver la multiplicación en $U_{12}$ como una forma de barajar sus propios elementos. Así que debería coincidir con un subgrupo del grupo de permutación en $4$ elementos.

Como ejemplo: para cualquier $g\in U_{12}$ , $1g=g$ . Así que $1$ representa la permutación de identidad. Para otros puede ser necesario ser más explícito: $11\cdot 1=11,\ \ 11\cdot 5=7,\ \ 11\cdot 7=5,\ \ 11\cdot 11=1$ . Así que $11$ intercambia los pares $(1,11)$ y $(5,7)$ . Eso también puede verse como un elemento de un grupo de permutación. La idea es encontrar un subgrupo específico del grupo de permutación que capture el comportamiento de $U_{12}$ de esta manera, haciendo coincidir cada elemento de $U_{12}$ con un determinado tipo de permutación.

Objetivo general: hacer coincidir cada elemento de $U_{12}$ a un elemento del grupo de permutación sobre cuatro elementos, de tal manera que este subgrupo de permutación tiene la misma estructura de grupo que $U_{12}$ .