Encontrar funciones analíticas que satisfagan ciertos valores

Question

En cada uno de los siguientes casos, determine si existe una función $f$ , analítica en un conjunto abierto que incluye el origen, tal que $f(1), f(1/2), f(1/3), f(1/4)$ etc., asumen los valores:

1. $1, 0, 1/3, 0, 1/5...$

2. $1/2, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7...$

¿Cómo se puede hacer este tipo de preguntas? ¿Se trata de encontrar una serie de potencia relevante?

Answer 1

Para mostrar la inexistencia de una función que satisface una de ellas, sería útil utilizar el teorema de que, si $f$ es analítica en una vecindad de $z$ y si $f$ desaparece en infinitos puntos en cada vecindad de $z$ entonces $f$ es idénticamente cero (en la componente de su dominio que contiene $z$ ). También, a veces, el corolario obvio que se obtiene al aplicar esto a la diferencia entre dos funciones analíticas.

Para mostrar existencia Intenta encontrar un ejemplo explícito. Intentar una serie de potencia general parece demasiado difícil de hacer en general.