Sobre la integración $\int_{-\infty}^\infty R(x)dx$ con residuos.

Question

Estoy leyendo sobre el cálculo de residuos. He leído que el procedimiento estándar para integrar $\int_{-\infty}^\infty R(x)dx$ donde $R(x)$ es una función racional cuyo denominador tiene grado al menos 2 unidades mayor que el numerador y ningún polo en la recta real, es integrar la función compleja $R(z)$ sobre una curva cerrada formada por el segmento $(-r,r)$ y el semicírculo de $r$ a $-r$ en el semiplano superior, de modo que si $r$ es lo suficientemente grande, la curva encierra todos los polos en el semiplano superior.

Veo que esto funciona porque la integral sobre esta curva cerrada se puede encontrar sumando los residuos, lo que puede ser más fácil. Como sólo me interesa la integral a lo largo de la recta real, espero que la integral sobre el semicírculo vaya a $0$ como $r\to\infty$ . Mi texto dice que esto es cierto por "estimaciones obvias".

Puede alguien explicar más explícitamente cómo se ve que la integral sobre el semicírculo va a $0$ ? Las estimaciones obvias son crípticas para mí. El texto es de Ahlfors Análisis complejo , página 156, por si le sirve de ayuda. Muchas gracias.

Answer 1

Consideremos la integral sobre el semicírculo $C$ , donde $|z|$ es grande. En ese límite $R(z)$ va como $1/z^2$ . Dejemos que $z = r e^{i\theta}$ . Observe que $dz = i r e^{i\theta} d\theta$ . Encontramos $$\int_C d z R(z) \sim \int_C \frac{dz}{z^2} = \frac{i}{r} \int_0^\pi d \theta \ e^{-i\theta} = \frac{2}{r}$$ Por lo tanto, en el límite la integral en el semicírculo desaparece.