¿Cómo podría determinar la solución de este sistema de ecuaciones?

Question

El problema al que me enfrento es este (con la respuesta de la pregunta subrayada):

Problema

He reducido la matriz a partir de esto:

\begin{bmatrix}1&2&-1&4\\3&-1&5&2\\4&1&(a^2-14)&a+2\end{bmatrix}

a esto: \begin{bmatrix}1&2&-1&4\\0&1&-8/7&10/7\\0&0&(a^2-18)&a-4\end{bmatrix}

Pero después no entiendo por qué el sistema de ecuaciones tiene solución cuando $a \neq 4$ o $a \neq -4$ .

Lo que aprendí, aplicado a este problema, es que:

• Si $a^2 - 18 = 0 $ El sistema de ecuaciones podría tener infinitas soluciones o ninguna solución.

Por favor, ¿alguien podría echarme una mano en esto? Gracias.

Answer 1

He comprobado tu reducción de la matriz y se ve bien. Tu enfoque también parece bueno. A partir de aquí, no tendrías soluciones si y sólo si $a^2=18$ ya que su segunda matriz se convertiría en $$\begin{bmatrix}1&2&-1&|&4 \\ 0&1&-8/7&|&10/7 \\ 0&0&0&|&\pm\sqrt{18}-4\end{bmatrix}$$ que no tiene soluciones (no podría tener infinitas soluciones en este caso). Si $a=\pm 4$ el sistema tiene soluciones.

Quizás haya un error en la solución dada, porque tus cálculos y tu método me parecen bien (además, no estoy familiarizado con el lenguaje en el que está escrito el problema, así que no estoy seguro de lo que pide exactamente el problema).

Answer 2

Hagámoslo sin cálculos matriciales. Tenemos las ecuaciones lineales $$x+2 y-z=4 \tag 1$$ $$3 x-y+5 z=2 \tag 2$$ $$4 x+y+\left(a^2-14\right) z=2+a \tag 3$$ Utilizando $(1)$ y $(2)$ eliminar $x$ y $y$ como funciones de $z$ $$x=\frac{8}{7}-\frac{9 z}{7} \qquad \text{and} \qquad y=\frac{8 z}{7}+\frac{10}{7}$$ Introduzca estos resultados $(3)$ para conseguir $$\left(a^2-18\right) z=a-4$$ S0, el sólo El problema es $a^2=18$ que hace que $z$ indefinido. Si $a^2\neq 18$ , lo que sea que pueda ser $a$ hay soluciones para $x,y,z$ .

Esto es lo que has mostrado. Bien hecho y $\to +1$ por su puesto.