Construir un mapa conforme a partir de $\mathbb{D}$ a un plano de corte

Question

Fuente: Examen de Oxford $A2 \ 1999$

Queremos construir un mapa conforme $F$ del disco de la unidad $\mathbb{D}=\{z:|z|<1\}$ a $\mathbb{C} \setminus S$ donde $S$ es la media línea $\{x+i:x \in (-\infty,0] \}$ con la propiedad adicional de que $F(0)=0$ .

Estos son mis pensamientos, puede alguien ver si son correctos por favor:

1. Utilizar la transformación de Möbius $f_1:z \mapsto \frac{1-z}{z+1}$ para enviar $\mathbb{D}$ al medio plano derecho.
2. Utiliza el mapa $f_2:z \mapsto z+ \alpha$ donde $\alpha \in \mathbb{C}$ lo determinaremos más adelante. Esto simplemente lleva el medio plano derecho al medio plano derecho.
3. Utiliza el mapa $f_3:z \mapsto z^2$ para asignar el medio plano derecho a $\mathbb{C}$ con un corte a lo largo de los reales negativos.
4. Utiliza el mapa $f_4:z \mapsto z+i$ para mover el corte hacia arriba y el mapa a $\mathbb{C} \setminus S$ .

Ahora la composición de estos cuatro mapas es conforme por lo que ciertamente tenemos un mapa conforme entre los conjuntos.

Ahora necesitamos $F(0)=f_4 \circ f_3 \circ f_2 \circ f_1(0)=0$ .

$f_1(0)=1$ , $f_2(1)=1+\alpha$ , $f_3(1+\alpha)=\alpha^2+2\alpha+1$ , $f_4(\alpha^2+2\alpha+1)=\alpha^2+2\alpha+1+i$

Así que tenemos que resolver $\alpha^2+2\alpha+1+i=0$ y este es el $\alpha$ necesario para garantizar $F(0)=0$ .

Podemos encontrar que $\alpha=\sqrt{-i}-1$ .

Así hemos terminado.

¿Es esto correcto?

Answer 1

Su elección de $f_2$ es malo. Necesitamos un mapa conforme del plano medio derecho al plano medio derecho, que envíe $f_1(0) = 1$ a $f_3^{-1}\circ f_4^{-1}(0) = f_3^{-1}(-i) = (1-i)/\sqrt 2$ .

Su elección de una traslación envía el plano medio derecho a uno de sus traslados a la izquierda, que ya no es el plano medio derecho, y entonces el mapa cuadrado lo estropea todo.

Dado que los automorfismos del medio plano superior son de la forma $z \mapsto (az+b)/(cz+d)$ con $ad-bc > 0$ el mapa conforme que necesitamos es de la forma $z \mapsto (az-ib)/(icz+d)$ con $ad-bc > 0$ . Por ejemplo, $f_2(z) = (z-i)/\sqrt 2 $ es un mapa que funciona, y es muy fácil ver que mapea el plano de la mitad derecha hacia sí mismo.

Answer 2

El mapa $f_4\circ f_3$ tal y como lo construyó, mapeará conformemente el semiplano derecho a la $\mathbb C\setminus S$ . Así que debería ser posible expresar cualquier vaid solución como una combinación de un mapa conforme del disco unitario al semiplano derecho, concatenado con esa función. Así que cada $F$ puede escribirse como $F=f_4\circ f_3\circ f_{12}$ para algún mapa conforme $f_{12}: \mathbb D\to\{z\in\mathbb C:\operatorname{Re}(z)>0\}$ .

Entonces, ¿qué formas hay de mapear conformemente el disco unitario al semiplano derecho? Según Teorema del mapa de Riemann ese mapa es único hasta la transformación de Möbius. Dado que es posible realizar $f_{12}$ utilizando una transformación de Möbius, esto nos dice que basta con considerar sólo transformaciones de Möbius en este paso.

Una transformación de Möbius en $\mathbb C\cup\{\infty\}$ se define de forma única dados tres puntos distintos y sus imágenes. Como sabemos que el límite del disco unitario debe mapear a $S$ podemos elegir dos puntos del disco unitario como preimágenes de $0$ y $\infty$ . Sin pérdida de generalidad, podemos incluso girar el disco unitario de forma que uno de estos puntos sea el punto $1$ . Además, podemos exigir el punto $0$ para asignar a $\sqrt{-i}=\frac{1-i}{\sqrt2}$ para que $f_4\circ f_3$ lo llevará desde allí de vuelta a $0$ según sea necesario. En conjunto, nuestra transformación de Möbius $M$ (que desempeñará el papel de $f_{12}$ ) está definida de forma única por

\begin{align*} 0 &\mapsto \sqrt{-i}=\tfrac{1-i}{\sqrt2}=e^{-i\frac\pi4} \\ 1 &\mapsto 0 \\ e^{i\varphi} &\mapsto \infty \end{align*}

para algún parámetro real $\varphi$ . Introduciendo esto en un sistema de álgebra computacional (sage en mi caso), se puede obtener

$$ M: z\mapsto\frac {e^{i\left(\varphi-\frac\pi4\right)}\cdot (z-1)} {z - e^{i\varphi}} $$

Ahora, introduzca un punto arbitrario de la frontera de $\mathbb D$ en esa función. Debe terminar en el eje imaginario, el límite de su medio plano. Así que su parte real debe ser cero. De nuevo con ayuda del álgebra computacional, obtuve

$$\operatorname{Re}\bigl(M(-1)\bigr) = \frac{\sin\varphi + \cos\varphi + 1}{\sqrt2\,\left(\cos\varphi+1\right)}$$

Nota: La elección del punto de ejemplo aquí es bastante arbitraria, pero no del todo. En mi primer intento, introduje $-i$ en lugar de $-1$ en esto, que es un caso especial para el que este enfoque no funcionará. La razón es que más adelante veremos que $-i$ es el punto que se asigna a $\infty$ y que, por tanto, no tiene una parte real bien definida. En caso de duda, probablemente habría que realizar este cálculo con dos puntos diferentes.

En cualquier caso, exigiendo que esa parte real sea cero, se puede obtener la solución $\varphi=-\frac\pi2$ . Con esto, la transformación de Möbius queda totalmente definida:

$$ M: z\mapsto\frac {e^{-i\frac34\pi}\cdot (z-1)} {z - e^{-i\frac12\pi}} = \frac{(1+i)(1-z)}{\sqrt2(z+i)} $$

Esta transformación mapeará el límite del círculo unitario en el eje imaginario, ya que lo hace para tres puntos y un círculo (incluyendo las líneas como un caso especial) ya está definido de forma única por tres puntos. Así que esto mapeará su disco unitario al semiplano derecho, y pondrá $M(0)$ en el lugar correcto. Ahora puede combinar esto con $f_3$ y $f_4$ para obtener el mapa completo $F$ :

$$F = f_4\circ f_3\circ M: z\mapsto \frac{2 i \, z^{2} - \left(2 i + 2\right) \, z}{z^{2} + 2 i \, z - 1}$$