$0\to M\to N\to P\to 0$ , $M,N$ finitamente presentado entonces $P$ está finitamente representada

Question

Definición: Un $R$ -Módulo $P$ está finitamente representada si existe una secuencia exacta

$$0\to K\to F\to P\to 0$$

donde $F$ es gratis y $F,K$ son de generación finita.

Tengo que demostrar que si

$$0\to M\xrightarrow{f} N\xrightarrow{g} P\to 0$$ es una secuencia exacta de $R$ -módulos donde $M$ y $N$ son finitamente representados entonces $P$ está finitamente representada.

Por hipótesis tenemos dos secuencias exactas $0\to K_m\to R^m\to M\to 0$ y $0\to K_n\to R^n\to N\to 0$ pero no sé cómo continuar desde aquí.

¿Pueden ayudarme? Gracias

Answer 1

Desde $P \cong N / \operatorname{Im}(f)$ y hay un $R$ -Módulo $F$ y un $R$ -Módulo $K$ tal que $N \cong F / K$ se obtiene la secuencia exacta $$ 0\to K' \hookrightarrow F\to P\to 0$$ donde $K' \leqslant F$ es la preimagen de $\operatorname{Im}(f)$ bajo el mapa de proyección $\pi : F \mapsto F / K$ . Lo único que queda por hacer es demostrar que $K'$ está generada finitamente.

Dejemos que $m_1, \dots, m_r$ generar $M$ y $k_1, \dots, k_s$ generar $K$ entonces $\operatorname{Im}(f)$ es generado por $f(m_1), \dots, f(m_r)$ . Para cada $1 \leqslant i \leqslant r$ Elige cualquiera $g_i$ en $\pi^{-1}(f(m_i))$ . En $F$ se obtiene $K' = \langle k_1, \dots, k_s, g_1, \dots, g_r \rangle$ . $K'$ es, por tanto, de generación finita.