Puntos límite en el subespacio Topología

Question

Dejemos que $X$ sea algún espacio topológico y $Y$ algún subespacio de $X$ . Estoy tratando de entender la relación entre los puntos límites de un conjunto en el subespacio de $Y$ y $X$ de la topología. Inicialmente, pensé que $cl_Y(A) \subseteq cl_X(A)$ , donde $A \subseteq Y$ . Pero parece que puedo demostrar que los dos conjuntos son iguales; seguramente esto es incorrecto, pero no puedo identificar el error en mi argumento.

Primero probaré $cl_Y(A) \subseteq cl_X(A)$ . Dejemos que $a \in cl_Y(A)$ y $\mathcal{O}$ algún conjunto abierto en $X$ que contiene $a$ . Entonces $\mathcal{O} \cap Y$ es un conjunto abierto no vacío en $Y$ que contiene $a$ , lo que implica que $\mathcal{O} \cap Y$ y $A$ se cruzan. Pero $\mathcal{O} \cap Y \cap A = \mathcal{O} \cap A$ no está vacío, lo que indica que $a \in cl_X(A)$ .

Ahora, supongamos que $a \in cl_X(A)$ y que $U$ sea un conjunto abierto en $Y$ que contiene $a$ . Entonces existe algún conjunto abierto $\mathcal{O}$ en $X$ tal que $U = \mathcal{O} \cap Y$ lo que implica, por supuesto, que $\mathcal{O}$ contiene $a$ . Por lo tanto, $\mathcal{O} \cap A = \mathcal{O} \cap Y \cap A = U \cap Y$ no está vacío, lo que demuestra que $a \in cl_Y(A)$ .

Entonces, ¿en qué me equivoqué?

Answer 1

Cuando dices $a\in cl_Y(A)$ , usted asume automáticamente $a\in Y$

Ahora bien, si $a\in cl_X(A)$ y $a\in Y$ entonces $a\in cl_Y(A)$ . Pero puede haber puntos en $cl_X(A)$ que no pertenecen a $Y$