Estoy tratando de estudiar para un examen y el profesor sugieren que memorizar $\sin(A+B)$, $\sin(A-B)$, $\cos(A+B)$, $\cos (A-B)$ y ser capaces de derivar el resto de los. No tengo ni idea de cómo llegar a cualquiera de los de éstos, parece casi imposible. Sé bastante bien aunque lo $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$. Por ejemplo, sólo conociendo lo anterior ¿cómo expreso $\cot(2a)$ $\cot a$? Ese es uno de mis problemas y me parece que se atascan a la mitad.
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Lorin Hochstein
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Desde $\displaystyle\cot(2a) = \frac{\cos(2a)}{\sin(2a)}$, tendría (asumiendo que usted sabe que la adición de fórmulas de senos y cosenos): $$\begin{align*} \cos(2a) &= \cos(a+a) = \cos(a)\cos(a) - \sin(a)\sin(a)\\ &= \cos^2(a) - \sin^2(a);\\ \sin(2a) &= \sin(a+a) = \sin(a)\cos(a) + \cos(a)\sin(a)\\ &= 2\sin(a)\cos(a), \end{align*}$$ y por lo tanto $$\begin{align*} \cot(2a) &= \frac{\cos(2a)}{\sin(2a)} = \frac{\cos^2(a) - \sin^2(a)}{2\sin(a)\cos(a)}\\ &= \frac{1}{2}\left(\frac{\cos^2(a)}{\sin(a)\cos(a)}\right) - \frac{1}{2}\left(\frac{\sin^2(a)}{\sin(a)\cos(a)}\right)\\ &= \frac{1}{2}\left(\frac{\cos(a)}{\sin(a)} - \frac{\sin(a)}{\cos(a)}\right)\\ &= \frac{1}{2}\left(\cot(a) - \tan(a)\right)\\ &= \frac{1}{2}\left(\cot(a) - \frac{1}{\cot(a)}\right)\\ &= \frac{1}{2}\left(\frac{\cot^2(a)}{\cot(a)} - \frac{1}{\cot(a)}\right)\\ &= \frac{1}{2}\left(\frac{\cot^2(a) - 1}{\cot (a)}\right). \end{align*}$$
P. S. Ahora, como sucede, no sé las fórmulas para el doble ángulos, ni la mayoría de identidades que implican la tangente, cotangents, etc. Nunca me tomé la molestia de memorizar. Lo que quiero saber son:
- Las definiciones de la tangente, la cotangente, secante y cosecante en términos de seno y coseno;
- Que el seno es impar ($\sin(-x) = -\sin(x)$) y coseno es incluso ($\cos(-x)=\cos(x)$);
- La adición de fórmulas para el seno y coseno;
- Los valores de seno y coseno en $0^{\circ}$, $30^{\circ}$, $45^{\circ}$, $60^{\circ}$, y $90^{\circ}$.
(Me pueden derivar $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ desde el anterior, pero con toda honestidad, que uno viene tan a menudo, que sé que es así). No sé la adición o doble ángulo fórmulas para las tangentes ni cotangents, por lo que la anterior derivación fue hecho precisamente "sobre la marcha", como yo estaba escribiendo. Brevemente he pensado que puede ser que necesite $\cos(2a)$ uno de equivale a las siguientes fórmulas: $$\cos^2(a)-\sin^2(a) = \cos^2(a) + \sin^2(a) - 2\sin^2(a) = 1 - 2\sin^2(a)$$ o $$\cos^2(a) - \sin^2(a) = 2\cos^2(a) - \cos^2(a) - \sin^2(a) = 2\cos^2(a) - 1,$$ si el primer intento no habían inmediatamente conducido a una fórmula para $\cot(2a)$ que sólo participen $\cot(a)$$\tan(a) = \frac{1}{\cot(a)}$.
Dan Walker
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Tres ejemplos de expresiones algebraicas derivaciones de identidades trigonométricas como una aplicación de la adición y de la substracción de fórmulas.
1. Ejemplo sobre cómo deducir la transformación logarítmica de las fórmulas (suma del producto de las fórmulas) de
$$\sin (a+b)=\sin a\cos b+\sin b\cos a,\qquad (1)$$
$$\sin (a-b)=\sin a\cos b-\sin b\cos a.\qquad (2)$$
Si usted escribe
$$\left\{ \begin{array}{c} a=\frac{p+q}{2}, \\ b=\frac{p-q}{2},\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} a+b=p, \\ a-b=q,\end{array}% \right. $$
usted obtener
$$\sin (a+b)+\sin (a-b)=2\sin a\cos b,$$
$$\sin (a+b)-\sin (a-b)=2\sin b\cos a,$$
y así
$$\sin p+\sin q=2\sin \frac{p+q}{2}\cos \frac{p-q}{2},\qquad (3)$$
$$\sin p-\sin q=2\sin \frac{p-q}{2}\cos \frac{p+q}{2}.\qquad (4)$$
Puede utilizar $(3)$ a resolver la ecuación
$$\sin (5x)+\sin x=\sin (3x)$$
que apareció en mi examen en 1968. (Véase un comentario mío a este post ).
2. Como por ejemplo en su pregunta, se presenta la siguiente derivación. De
$$\sin (a+b)=\sin a\cos b+\sin b\cos a,\qquad (5)$$
$$\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b,\qquad (6)$$
tenemos
$$\cot (a+b)=\frac{\cos (a+b)}{\sin (a+b)}=\frac{\cos a\cos b-\sin a\sin b}{\sin a\cos b+\sin b\cos a},$$
o dividiendo el numerador y el denominador por $\sin a\cos b$
$$\begin{eqnarray*} \cot (a+b) &=&\dfrac{\dfrac{\cos a\cos b-\sin a\sin b}{\sin a\cos b}}{\dfrac{% \sin a\cos b+\sin b\cos a}{\sin a\cos b}}=\dfrac{\dfrac{\cos a\cos b}{\sin a\cos b}-\dfrac{\sin a\sin b}{\sin a\cos b}}{\dfrac{\sin a\cos b}{\sin a\cos b}% +\dfrac{\sin b\cos a}{\sin a\cos b}} \\ &=&\dfrac{\dfrac{\cos a}{\sin a}-\dfrac{\sin b}{\cos b}}{1+\dfrac{\sin b\cos a}{% \sin a\cos b}}=\dfrac{\cot a-\tan b}{1+\tan b\cot a}=\dfrac{\cot a-\dfrac{1}{% \cot b}}{1+\dfrac{\cot a}{\cot b}} \\ &=&\dfrac{\dfrac{\cot a\cot b-1}{\cot b}}{\dfrac{\cot b+\cot a}{\cot b}}=\dfrac{% \cot a\cot b-1}{\cot b+\cot a},\qquad (7) \end{eqnarray*}$$
un caso particular de que (para $a=b$) está dada por
$$\cot (2a)=\dfrac{\cot ^{2}a-1}{2\cot a}.\qquad (8)$$
3. La suma y la resta de la fórmula para la tangente. De
$$\sin (\pm b)=\sin\pecado b\pm \pecado b\cos$$
tenemos
$$\tan a\pm \tan b=\frac{\sin a}{\cos a}\pm \dfrac{\sin b}{\cos b}=\frac{\sin a\cos b\pm \sin b\cos a}{\cos a\cos b}=\frac{\sin (a\pm b)}{\cos a\cos b}.\qquad (9)$$
Matt
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Si usted entiende de números complejos es un mnemotécnico muy agradable. Sabemos que %#% $ #%
Tomar partes reales e imaginarias en la identidad %#% $ #%
Desmonte y sus fórmulas de la suma de $$e^{it} = \cos(t) + i\sin(t).$ y $$e^{i(A + B)} = e^{iA}e^{iB} = (\cos(A) + i\sin(A))(\cos(B) + i\sin(B)).$. Para obtener las diferencias, utilice la asignación $\sin$ y el hecho de que el $\cos$ y $B\leftarrow -B$.
Slayer_X
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¿Tal vez esto ayudará? Cot(x) = cosx / sinx-> cot(2a) = cos (a + a) / pecado (a + a) y luego supongo que sabe usted estos dos.
Edit: Había había guardado como una pestaña y no ver la respuesta publicada, pero creo que hubiera sido mejor para que pueda calcular el resto por ti mismo para que usted podría aprender haciendo en vez de leer.
John Joy
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No estoy seguro, pero creo que tal vez usted necesita para revisar el trigonométricas básicas definiciones. $$\begin{array}{lll} \sin\theta = \frac{opposite}{hypotenuse}&\csc\theta=\frac{hypotenuse}{opposite}\\ \cos\theta = \frac{adjacent}{hypotenuse}&\sec\theta=\frac{hypotenuse}{adjacent}\\ \tan\theta = \frac{opposite}{adjacent}&\cot\theta=\frac{adjacent}{opposite} \end{array}$$
Habiendo hecho eso, ahora podemos manipular las definiciones. Por ejemplo
$$\cot\theta = \frac{adjacent}{opposite}\cdot\frac{\frac{1}{hypotemnuse}}{\frac{1}{hypotemnuse}}=\frac{\frac{adjacent}{hypotenuse}}{\frac{opposite}{hypotenuse}}=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}$$
o, alternativamente,
$$\cot\theta = \frac{adjacent}{opposite}=\frac{\frac{1}{opposite}}{\frac{1}{adjacent}}=\frac{\frac{1}{opposite}}{\frac{1}{adjacent}}\cdot\frac{hypotenuse}{hypotenuse}=\frac{\frac{hypotenuse}{opposite}}{\frac{hypotenuse}{adjacent}}=\frac{\csc\theta}{\sec\theta}$$
Después de eso, a hacer 3 triángulos que son semejantes a la adyacente opuesto hipotenusa del triángulo. Estos triángulos se gire, que es igual a 1. Aquí es donde obtenemos el familiar de Pitágoras identidades.
El siguiente paso es derivar $\cos (\alpha+\beta)$ $\sin (\alpha+\beta)$ por ajuste de la longitud (yo uso los cuadrados de las longitudes) de las líneas de color verde en el diagrama iguales el uno al otro. Es fácil de hacer, ya que las estaciones son bien conocidos.
Finalmente, deja a la deriva $\cot(A+B)$ $$\begin{array}{lll} \cot(A+B)&=&\frac{\sin(A+B)}{\cos(A+B)}\\ &=&\frac{\sin A\cos B + \cos A\sin B}{\cos A\cos B - \sin A\sin B}\\ &=&\frac{\frac{\sin A\cos B + \cos A\sin B}{\sin A\sin B}}{\frac{\cos A\cos B - \sin A\sin B}{\sin A\sin B}}\\ &=&\frac{\frac{\cos B}{\sin B}+\frac{\cos A}{\sin A}}{\frac{\cos A\cos B}{\sin A\sin B}-1}\\ &=&\frac{\cot B+\cot A}{\cot A\cot B-1} \end{array}$$ Tenga en cuenta que $\cot 2A$ es sólo $\cot(A+B)$ donde $A=B$, por lo que $$\cot 2A = \cot(A+A)=\frac{\cot A+\cot A}{\cot A\cot A-1}=\frac{2\cot A}{\cot^2 A-1}$$ Por supuesto, esta lista no es exhaustiva, por ejemplo, no se derivan de los senos y cosenos de las leyes, ni tampoco consideramos el doble ángulo y ángulo medio de fórmulas. Pero espero que lo poco que hizo aquí fue muy útil.
