Elegir $7$ números de $[1,2,...,11]$ nos dará $2$ que han sumado $12$ .

Question

Elegir $7$ números de $[1,2,...,11]$ nos dará $2$ que han sumado $12$ . Lo he intentado:

Sólo hay $5$ emparejamientos posibles:

$(7,5),(8,4),(9,3),(10,2),(11,1)$

Supongamos que elijo $6$ y entonces para no ser un par tendré que sacar exactamente 1 número de cada uno de los pares anteriores. Supongamos que he elegido $7,8,9,10,11$ . Voy a usar hasta $6$ números. Por lo tanto, cualquier número que quede pertenece a algún par.

¿Cómo puedo poner esto en términos matemáticos y demostrarlo?

Answer 1

Bueno, no necesariamente tenemos que plantear esto en términos estrictamente matemáticos, pero podemos formular la pregunta como:

Demostrar que para cualquier conjunto de $7$ números elegidos del conjunto $\{1, 2, 3, ..., 11\},$ existe al menos un par de dos números que suman $12.$

Podemos demostrarlo formalmente por contradicción. Imaginemos que podemos encontrar un conjunto de $7$ números con no dos elementos con una suma de $12.$ Tenemos $6$ cajas, una de las cuales puede contener hasta $1$ número. Entonces nuestra proposición es que cada uno de $b_{1}, b_{2}, b_{3}, ..., b_{6}$ es menor o igual que $1.$ En otras palabras, $b_{n} \le 1.$ Entonces $$\sum_{n = 1}^{6} b_{n} \le 6.$$

Pero tenemos siete números. Nuestra proposición tiene que ser falsa, y estamos acabados.