Prueba de que la integral de Riemann de la función dada es 0

Question

De "An Introduction to Lebesgue Integration and Fourier Series" de Howard J. Wilcox y David L. Myers:

1.1 Definición: Una partición $P$ de un intervalo cerrado $[a, b]$ es una secuencia finita $(x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n})$ tal que $a = x_{0} < x_{1} < \ldots < x_{n} = b$ . La norma de $P$ , denotado como $\left|\left|P\right|\right|$ se define por $\left|\left|P\right|\right| = \max_{1 \leq i \leq n} (x_{i} - x_{i-1})$ .

1.2 Definición: Sea $P = (x_{0}, \ldots, x_{n})$ sea una partición de $[a, b]$ y que $f$ definirse en $[a, b]$ . Para cada $i = 1, \ldots, n$ , dejemos que $x_{i}*$ sea un punto arbitrario en el intervalo $[x_{i-1}, x_{i}]$ . Entonces cualquier suma de la forma $R(f, P) = \sum_{i=1}^{n} f(x_{i}*)(x_{i} - x_{i-1})$ se llama suma de Riemann de $f$ en relación con $P$ .

1.3 Definición: Una función $f$ es integrable de Riemann en $[a, b]$ si hay un número real $R$ tal que para cualquier $\epsilon > 0$ existe un $\delta > 0$ tal que para cualquier partición $P$ de $[a, b]$ Satisfaciendo a $\left|\left|P\right|\right| < \delta$ y para cualquier suma de Riemann $R(f, P)$ de $f$ en relación con $P$ tenemos $\left|R(f,P) - R\right| < \epsilon$ .

Si $R$ existe entonces $\int_{a}^{b} f(x) dx = R$ .

Ejercicio 5.6: Sea $f(x) = 0$ para $x \neq 1/n$ , $n = 1,2,3, \ldots$ y que $f(1/n) = 1$ . Demostrar que $\int_{0}^{1} f(x) dx = 0$ .

¿Existe una solución para este ejercicio que sólo utilice las definiciones dadas? Tengo problemas para encontrar una ecuación que relacione el tamaño de la norma con el valor máximo de la suma de Riemann.

Answer 1

Escribe la integral $\int_{0}^{1} =\int_{0}^{\frac{1}{n}}+\int_{\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n-1}} +... +\int_{\frac{1}{2}}^{1}$

Ahora, $\|P\|=0.5<0.6$ y nota que $f(x_i*)=0$ para cualquier intervalo de la partición anterior (por definición $f(x)=0$ para todos $x\ne \frac{1}{2}, ...,\frac{1}{n}$ ), lo que da como resultado que $R(f,P)=0$ y así poder tomar $R=0$

Answer 2

La pregunta es: ¿cuál es el peor escenario posible? Obsérvese que todos los valores en los que $f= 1$ se acumula en torno a cero, por lo que se deduce que la peor partición que satisface $||P|| < \delta$ y la peor suma de Riemann (por peor me refiero a que toda suma de Riemann es menor que ésta, rellena los detalles de por qué esto es cierto) se parece a \begin{equation*} P = \{ 0 < \frac1n < \frac{1}{n - 1} < \dots < \frac1m < x_1 < \dots < x_\alpha = 1 \} \end{equation*} donde $m$ es el menor número entero tal que $\frac{1}{m - 1} - \frac1m < \delta$ y $n$ es cualquier número entero mayor que $m$ y la peor suma de Riemann selecciona exactamente los puntos finales en los que $f = 1$ . Obsérvese que en $(1/m, 1]$ , $f = 1$ en $m$ muchos puntos. Así, \begin{equation*} R(f, P) \leq \sum \left(\frac{1}{i - 1} - \frac1i\right) + \sum f(x_i^*) (x_{i} - x_{i - 1}) < \frac1m + \delta \sum f(x_i^*) < \frac1m + \delta m \end{equation*} Elija $\delta = \frac{1}{m - 1} - \frac1m$ entonces $\delta \to 0$ y $\delta m \to 0$ como $m \to \infty$ . Este es un argumento muy informal y de manual, pero creo que capta la idea de cómo resolver este problema. Te animo a que intentes hacer un argumento más riguroso en esta línea.

Answer 3

$\newcommand{\abs}[1]{\left| #1 \right|}$ $\newcommand{\norm}[1]{\left|\left| #1 \right|\right|}$

Dejemos que $R = 0$ .

Dejemos que $\epsilon > 0$ .

Dejemos que $k > 0$ sea tal que $1/k < \epsilon / 2$ .

Dejemos que $\delta_{1} > 0$ sea tal que para cualquier partición $P = (x_{0}, \ldots, x_{n})$ de $[0, 1]$ tal que $\norm{P} < \delta_{1}$ existe un $x \in P$ tal que $1/(k+1) < x < 1/k$ .

Si $P = (x_{0}, \ldots, x_{n})$ es una partición de $[0, 1]$ y $x \in P$ es tal que $1/(k+1) < x < 1/k$ entonces hay como máximo $2k - 1$ subintervalos de $P$ en $[x, 1]$ que contienen un número de la forma $1/n$ . Dejemos que $p = 2k - 1$ .

Dejemos que $\delta_{2} = \epsilon / 2p$ .

Dejemos que $\delta = \min(\delta_{1}, \delta_{2})$ .

Dejemos que $P = (x_{0}, \ldots, x_{n})$ sea una partición de $[0, 1]$ tal que $\norm{P} < \delta$ .

Para cada $i = 1, \ldots, n$ , dejemos que $x_{i}^{*}$ sea un punto arbitrario en el intervalo $[x_{i-1}, x_{i}]$ .

Dejemos que $R(f,P) = \sum_{i=1}^{n} f(x_{i}^{*})(x_{i} - x_{i-1})$ . Entonces $R(f,P)$ es una suma de Riemann de $f$ en relación con $P$ .

Dejemos que $m$ sea tal que $x_{m} \in P$ y $1/(k+1) < x_{m} < 1/k$ .

Entonces \begin{align*} \abs{R(f,P) - R} &= \abs{\sum_{i=1}^{n} f(x_{i}^{*})(x_{i} - x_{i-1}) - 0} \\ &= \abs{\sum_{i=1}^{n} f(x_{i}^{*})(x_{i} - x_{i-1})} \\ &= \abs{\sum_{i=1}^{m} f(x_{i}^{*})(x_{i} - x_{i-1}) + \sum_{i=m+1}^{n} f(x_{i}^{*})(x_{i} - x_{i-1})} \\ &\leq \abs{\sum_{i=1}^{m} f(x_{i}^{*})(x_{i} - x_{i-1})} + \abs{\sum_{i=m+1}^{n} f(x_{i}^{*})(x_{i} - x_{i-1})} \\ &\leq \sum_{i=1}^{m} \abs{f(x_{i}^{*})(x_{i} - x_{i-1})} + \sum_{i=m+1}^{n} \abs{f(x_{i}^{*})(x_{i} - x_{i-1})} \\ &= \sum_{i=1}^{m} \abs{f(x_{i}^{*})} \abs{(x_{i} - x_{i-1})} + \sum_{i=m+1}^{n} \abs{f(x_{i}^{*})} \abs{(x_{i} - x_{i-1})} \\ &= \sum_{i=1}^{m} \abs{f(x_{i}^{*})} (x_{i} - x_{i-1}) + \sum_{i=m+1}^{n} \abs{f(x_{i}^{*})} (x_{i} - x_{i-1}) \\ &\leq \sum_{i=1}^{m} 1 \cdot (x_{i} - x_{i-1}) + \sum_{i=m+1}^{n} \abs{f(x_{i}^{*})} (x_{i} - x_{i-1}) \\ &= \sum_{i=1}^{m} (x_{i} - x_{i-1}) + \sum_{i=m+1}^{n} \abs{f(x_{i}^{*})} (x_{i} - x_{i-1}) \\ &= x_{m} - x_{0} + \sum_{i=m+1}^{n} \abs{f(x_{i}^{*})} (x_{i} - x_{i-1}) \\ &= x_{m} - 0 + \sum_{i=m+1}^{n} \abs{f(x_{i}^{*})} (x_{i} - x_{i-1}) \\ &= x_{m} + \sum_{i=m+1}^{n} \abs{f(x_{i}^{*})} (x_{i} - x_{i-1}) \\ &< 1/k + \sum_{i=m+1}^{n} \abs{f(x_{i}^{*})} (x_{i} - x_{i-1}) \\ &< \epsilon / 2 + \sum_{i=m+1}^{n} \abs{f(x_{i}^{*})} (x_{i} - x_{i-1}) \\ &\leq \epsilon / 2 + \sum_{i=m+1}^{n} \abs{f(x_{i}^{*})} \norm{P} \\ &= \epsilon / 2 + \norm{P} \sum_{i=m+1}^{n} \abs{f(x_{i}^{*})} \\ &< \epsilon / 2 + \delta \sum_{i=m+1}^{n} \abs{f(x_{i}^{*})} \\ &\leq \epsilon / 2 + \delta_{2} \sum_{i=m+1}^{n} \abs{f(x_{i}^{*})} \\ &= \epsilon / 2 + \epsilon / 2p \sum_{i=m+1}^{n} \abs{f(x_{i}^{*})} \\ &\leq \epsilon / 2 + \epsilon / 2p \cdot p \\ &= \epsilon / 2 + \epsilon / 2 \\ &= \epsilon. \end{align*}