Conjugación / Cambio de base en los grupos

Question

Si A es una matriz diagonalizable, entonces $\exists$ P,D tal que $P^{-1}AP=D$ . Esto puede verse como un automorfismo interno de $GL(V)$ . En términos más generales, supongo que se puede escribir que si $\psi:G \times X \to X$ es una acción de grupo, y $u \in G$ es un "cambio de base" (es decir $x_1 = \psi(u,x_0)$ representa $x_0$ después del cambio de base), entonces tenemos un concepto similar considerando el automorfismo interno $g'=u^{-1}gu$ , $g \in G$ con $g'$ actuando en $x_{1}$ o $g$ actuando en $x_{0}$ .

Mi pregunta es: ¿qué propiedades o resultados interesantes se pueden encontrar para los grupos generales, por analogía con el caso de los grupos matriciales, y en particular en la teoría geométrica de grupos? El motivo de esta pregunta es que estoy interesado, en lo que respecta a este grupo sobre todos los elementos de la forma $g^{n}wg^{-n}$ donde w es una palabra del grupo.

Answer 1

Si se considera la conjugación en grupos de permutación, entonces sí corresponde a una especie de cambio de base en el sentido de que $\tau \sigma \tau^{-1}$ es estructuralmente la "misma" permutación que $\sigma$ con la salvedad de que se han renombrado los elementos con $\tau$ . En particular, dado que $S_n$ es generado por $(12)$ y $(123\ldots n)$ se genera por cualquier $n$ -ciclo y cualquier transposición de elementos adyacentes en ese $n$ -ciclo.