Límite de la integral en $\mathbb R^2$

Question

Estoy tratando de probar lo siguiente pero aunque parece fácil no estoy seguro de cómo empezar:

Dejemos que $R$ sea un rectángulo en el plano y $f\colon R\rightarrow {\mathbb{R}}$ una función continua no negativa. Entonces se cumple lo siguiente:

$$\left(\iint_R f^n\right)^{\dfrac{1}{n}} \rightarrow \sup \left(f(x)\right)\text{ as }n\longrightarrow \infty.$$

Cualquier sugerencia será de ayuda. Gracias

Answer 1

¿Puedes demostrar que la secuencia $n\to (\int_{R} f^n)^{\frac{1}{n}}$ está limitada por $\sup_{x\in R} f(x)$ para todos los números naturales $\mathbb{N}$ ?

La otra dirección es mostrar que para cada $\epsilon > 0$ existe $N$ lo suficientemente grande como para que $(\int_{R} f^n)^{\frac{1}{n}} > \sup_{x\in R} f(x) - \epsilon$ para todos $n\geq N$ .

Sugerencia : Definir $A_{\epsilon}=\{x\in R:f(x)>\sup_{x\in R} f(x) - \epsilon\}$ . ¿Qué puede decir sobre $(\int_{A_{\epsilon}} f^n)^{\frac{1}{n}}$ para un tamaño suficientemente grande $n$ ?

Espero que esto ayude.