¿Cómo podemos demostrar que $\int_{0}^{\infty}{\sinh^2(x)-x\over \cosh^3(x)}\cdot{4x\over e^x}\mathrm dx=2-\zeta(2)?$

Question

Dada la integral

$$\int_{0}^{\infty}{\sinh^2(x)-x\over \cosh^3(x)}\cdot{4x\over e^x}\mathrm dx=2-\zeta(2)\tag1$$

¿Cómo se puede demostrar $(1)?$

Un intento:

Podemos escribir $(1)$ como

$$\int_{0}^{\infty}{\sinh^2(x)-x\over \cosh(x)[1+\sinh^2(x)]}\cdot{4x\over e^x}\mathrm dx\tag2$$

Ni idea de qué sustitución debería utilizar. O reescribir como $(1)$

$$\int_{0}^{\infty}{4x\tanh^2(x)\over e^x\cosh(x)}\mathrm dx-\int_{0}^{\infty}{4x^2\over e^x\cosh^3(x)}\mathrm dx\tag3$$

Answer 1

Bastante engorroso pero factible \begin{align} \int_{0}^{\infty}{\sinh^2(x)-x\over \cosh^3(x)}\cdot{4x\over e^x}\mathrm dx &=\int^\infty_0 \left\{\frac{2 e^x}{1 + e^{2 x}} + \frac{8 e^x (1 + x)}{(1 + e^{2 x})^3}- \frac{8 e^x (1 + x)}{(1 + e^{2 x})^2}\right\}{4x\over e^x}\mathrm dx \\&=8\int^\infty_0\frac{x}{1 + e^{2 x}}\,dx+ 32\int^\infty_0\frac{x(1 + x)}{(1 + e^{2 x})^3}\,\mathrm dx-\frac{x(1 + x)}{(1 + e^{2 x})^2}\,dx \\&=2\int^\infty_0\frac{x}{1 + e^{x}}\,\mathrm dx- 4\int^\infty_0\frac{e^x x (2 + x)}{(1 + e^x)^3}\,\mathrm dx \\&=\zeta(2)-4\int^\infty_0\frac{e^x x (2 + x)}{(1 + e^x)^3}\,\mathrm dx \\&=\zeta(2)-4\int^\infty_0\frac{1+x}{(1+e^x)^2}\,\mathrm dx\\ &=\zeta(2)-2+4\int^\infty_0\frac{xe^{-x}}{1+e^x}\,\mathrm dx\\ &=\zeta(2)-2+4\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\int^\infty_0xe^{-(n+2)x}\,\mathrm dx\\ &=\zeta(2)-2+4\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(n+2)^2}\\ &=\zeta(2)-2+4-2\zeta(2)=\boxed{2-\zeta(2)} \end{align}