$\alpha+\beta+\gamma+\delta=0$ y $\alpha^n+\beta^n+\gamma^n+\delta^n=0$ entonces demuestre que $\alpha(\alpha+\beta)(\alpha+\gamma)(\alpha+\delta)=0$

Question

Supongamos que $\alpha,\beta,\gamma,\delta\in\mathbb{R}$ tal que $~\alpha+\beta+\gamma+\delta=0~$ y $~\alpha^n+\beta^n+\gamma^n+\delta^n=0~$ (donde $n\in\mathbb{N}$ y $n\ne1$ ),
entonces demuestre que $~~\alpha(\alpha+\beta)(\alpha+\gamma)(\alpha+\delta)=0$

La prueba es trivial si $n$ está igualado porque tenemos $\alpha=\beta=\gamma=\delta=0$ .
Así que consideramos el caso en el que $n$ es impar.
Si $\alpha=0$ entonces la prueba es directa así que consideré el caso en que $\alpha\ne0$ . Ahora sólo se requiere demostrar que la suma de dos cualesquiera de $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ debe ser $0$ . La condición dada puede simplificarse como $$\beta^n+\gamma^n+\delta^n=(\beta+\gamma+\delta)^n$$ Si $\beta,\gamma,\delta$ es no negativo, entonces podemos utilizar la desigualdad de la media de la potencia para obtener, $${\beta^n+\gamma^n+\delta^n\over3^n}=\left({\beta+\gamma+\delta\over 3}\right)^n\le{\beta^n+\gamma^n+\delta^n\over 3}$$ $$\implies\alpha^n=\beta^n+\gamma^n+\delta^n=0$$ Esto contradice $\alpha\ne0$

Pero no soy capaz de probar para el caso en que al menos uno de $\beta,\gamma,\delta$ es negativo. Por ejemplo, si tomamos $\beta,\delta$ ser positivo y $\gamma$ para que sea negativo y luego aplicar la desigualdad potencia-media obtenemos $$\left({\beta+\delta\over 2}\right)^n\le{\left(\beta+\gamma+\delta \right)^n+(-\gamma)^n\over2}={\beta^n+\delta^n\over2}$$ Lo que obtenemos es básicamente la desigualdad potencia-media aplicada a $\beta$ y $\delta$ y nada nuevo.

¿Puede alguien ayudarme a completar la prueba o proporcionar una solución alternativa? También podríamos demostrar una igualdad más ajustada $~(\alpha+\beta)(\alpha+\gamma)(\alpha+\delta)=0~$ que sea cierto (no he podido encontrar un contraejemplo para ello)?

Gracias de antemano.

Answer 1

Como mencionó OP, el caso de $n$ incluso es obvio. A partir de ahora, $ n$ es impar.

En primer lugar, ignoramos el lugar especial de $\alpha$ en la igualdad final y tratar de entender las implicaciones de $ \alpha + \beta + \gamma + \delta = 0, \alpha^n + \beta^n + \gamma^n + \delta^n = 0 $ .
WLOG, que $ \alpha \leq \beta \leq \gamma \leq \delta $ .
Dejemos que $ a = |\alpha|, b = |\beta|, c = |\gamma|, d = |\delta|$ . (Esta sustitución no es necesaria. Prefiero firmemente tratar con términos no negativos).
Tenemos los siguientes casos.

Caso 1: $ 0 \leq \alpha$ .
Esto requiere $a = b = c = d = 0 $ .

Caso 2: $ \alpha \leq 0 \leq \beta$ .
Entonces $ (b+c+d)^n = a^n = b^n + c^n + d^n$ . Esto requiere $ b = c = d = 0$ y por lo tanto $ a = 0$ .

Caso 3: $ \beta \leq 0 \leq \gamma$ .
Entonces $ a + b = c + d = S$ y $ a^n + b^n = c^n + d^n$ .
Reclamación: Esto requiere $a=d, b = c$ . (Esto debería parecer obvio. Si quieres ver el argumento riguroso, haz clic abajo).

Dejemos que $ a + b = c + d = 2S$ y $ a = S+P, b = S-P, c = S-R, d = S+R$ .
Ampliar $ (S+P)^n + (S-P)^n = (S-R)^n + (S+R)^n$ obtenemos $0=\sum{n \choose 2i+1} S^{2i+1} (P^{n-(2i+1) } - R^{n-(2i+1) } )$ .
Desde $ x^j$ es monótona. Por lo tanto, la igualdad se mantiene si $S=0$ o $P = R$ .

Caso 4: $ \gamma \leq 0 \leq \delta $ .
Tomando la inversa aditiva, esto es equivalente al caso 2.
Así que $ a = b = c =d = 0 $ .

Caso 5: $ \delta \leq 0$ .
Tomando la inversa aditiva, esto es equivalente al caso 1.
Así que $ a = b = c =d = 0 $ .

Ahora, una vez entendidas las implicaciones de la condición, des-ignoramos el lugar especial de $ \alpha$ en la igualdad final.

Corolario: Podemos comprobar fácilmente que en cada uno de los casos, el enunciado original del problema y la hipótesis de igualdad más estricta de OP son verdaderos:

$$ \alpha (\alpha+\beta)(\alpha+\gamma)(\alpha+\delta) = 0,\\ (\alpha+\beta)(\alpha+\gamma)(\alpha+\delta) = 0.$$

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Nota:

• El caso de 3 variables es un corolario inmediato, ya que podríamos poner cualquiera de ellas a 0.
• Esto también demuestra por qué el caso de 5 variables no tiene por qué ser válido.

Answer 2

Supongamos que $\beta\ge \gamma >0>\delta$ . Entonces, como $|\delta|=\beta+\gamma$ , $\|\delta\|^n=\beta^n+{n\choose 1}\beta^{n-1}\gamma+\cdots +\gamma^n>\beta^n+\gamma^n$ La contradicción al menos cuando $n>1$ (y para $n=1$ Hay muchos contraejemplos).