¿Polinomio con los primos como coeficientes irreductibles?

Question

Si$p_n$ es el$n$ 'th primo, sea$A_n(x) = x^n + p_1x^{n-1}+\cdots + p_{n-1}x+p_n$. ¿Es$A_n$ entonces irreducible en$\mathbb{Z}[x]$ para cualquier número natural$n$? Verifiqué los primeros doscientos casos usando Maple y, a menos que cometiera un error en el código, todos eran irreductibles. He pensado en esto durante mucho tiempo y he preguntado a muchos otros, sin respuesta todavía.

Answer 1

Como no tengo suficiente "reputación" para comentar la respuesta de Bjorn, escribiré esto en una respuesta. La observación sobre la ubicación de los ceros de$A_n$ se remonta al menos a Kakeya, Sobre los límites de las raíces de una ecuación algebraica con coeficientes positivos , Tôhoku Math. J., vol. 2, 140-142, 1912. También aparece en el bonito libro de E. Landau, Darstellung und Begründung einiger neuerer Ergebnisse der Funktionentheorie , Springer 1916, (Hilfssatz p.20).